Kreisharmonien im Rechteck

15.06.2022, 21:44

Conny_1729

Kreisharmonien im Rechteck

Hallo,
wieder einmal gibt es ein geometrisches Problem für die Mußestunden, das sich in 7 Fragen unterteilt. Jede/Jeder kann damit selbst entscheiden, wie viele davon beantwortet werden, je nach Lust und Laune.

Folgendes geometrisches Problem liegt vor (siehe Anhang):
In einem Rechteck mit den Seiten a und b befinden sich 5 Kreise. Zwei große Kreise K1 mit Radius R1, zwei mittlere Kreise K2 mit Radius R2 und einen zentralen Kreis K3 mit R3. Die mittleren und großen Kreise berühren sich und liegen zugleich am Rechteck tangential an. Der zentrale Kreis berührt die vier umliegenden Kreise. Das ist jedoch die fertige Konstruktion, die aber zuerst schrittweise erzeugt werden muss! D.h., Zirkel und Lineal sind wieder mal gefragt.

Wir gehen davon aus, dass zuerst nur die Rechteckhöhe a bekannt ist und somit z.B. der linke Kreis K1 konstruiert werden kann. Die Breite b ist noch unbekannt.

Frage 1:
Wie erhält man allein mit Zirkel und Lineal die beiden Kreise K2 und K3?

Frage 2:
Wie groß wäre das Verhältnis b/a vom fertigen Rechteck?

Frage 3:
Wie groß ist das Verhältnis der Radien zwischen Kreis K2 und K3?
$\begin{eqnarray*} \phi_{23}=\frac{R2}{R3} =??? \end{eqnarray*}$

Frage 4:
Es sollen die Flächenverhältnisse der Kreise zueinander berechnet werden, wobei diese jedoch als lineare Ausdrücke von $\begin{eqnarray*} \phi _{23} \end{eqnarray*}$ anzugeben sind gemäß der folgenden Form:
$\begin{eqnarray*} \frac{A_{j}}{A_{k}}=a_{jk} +b_{jk}\cdot \phi _{23} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{jk} , b_{jk}\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j,k= \left\{ 1,2,3\right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn z.B.
$\begin{eqnarray*} \phi _{mn}=2\cdot \sqrt{7} -4 \end{eqnarray*}$

wäre, dann kann der folgende Ausdruck auch mittels einer linearen Beziehung beschrieben werden.
$\begin{eqnarray*} \phi _{mn}^{2} +1=13-8\cdot \phi _{mn} \end{eqnarray*}$

Die gesuchten Elemente sollen in einer 3x3 Matrix A und in einer 3x3 Matrix B zusammengefasst werden.
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & a33 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} b11 & b12 & b13 \\ b21 & b22 & b23 \\ b31 & b32 & b33 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Kontroll-Info: Die Determinanten von A und B ergeben jeweils null. Ansonsten gilt dann auch:
$\begin{eqnarray*} A^{T} -A=B \end{eqnarray*}$

Frage 5:
Würde man im Zwischenraum der sich berührenden Kreise K1, K2 und K3 einen weiteren kleineren Kreis 4 hineinkonstruieren, der diese ebenfalls berühren muss, welches Verhältnis $\begin{eqnarray*} \phi_{14}=R1:R4 \end{eqnarray*}$ läge dann vor?

Dieses Verhältnis soll dabei wieder in der linearen Form von $\begin{eqnarray*} \phi_{23} \end{eqnarray*}$ angegeben werden, also
$\begin{eqnarray*} \phi_{14}=a_{14} +b_{14}\cdot \phi _{23} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{14} , b_{14}\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Frage 6:
Welches Verhältnis $\begin{eqnarray*} \phi_{15}=R1:R5 \end{eqnarray*}$ liegt vor, wenn abschließend noch ein fünfter Kreis K5 im Zwischenraum K2, K3 und K4 tangential platziert wird?

Frage 7:
Jetzt wird es etwas allgemeiner: Die beiden Kreise K2 und K3 bleiben feste Bestandteile des folgenden Problems und berühren den Kreis K1, womit eine Startkonstruktion vorliegt. Tangential an den Kreisen K2 und K3 anliegend können nun immer weitere eingeschriebene Kreise berechnet werden, wie z.B. K4 und K5 aus Frage 5/6 (siehe hierzu auch „Satz von Descartes“). Diese sollen wieder über Radienverhältnisse ausgedrückt werden, wobei jetzt aber als Bezug der Radius R3 gewählt wird!

Gesucht ist nun die Formel für ein beliebiges Radienverhältnis bzgl. R3 gemäß der linearen Form (wie in Frage 5).

$\begin{eqnarray*} \frac{R_{3} }{R_{k} } =\phi_{3k}=a_{3k} +b_{3k}\cdot \phi_{23} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{3k} , b_{3k}\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$

Und wer noch weiter gehen möchte, kann sich dann auch an den reziproken Wert heranwagen.
$\begin{eqnarray*} \frac{R_{k} }{R_{3} } =\phi_{k3}=\frac{a_{k3} +b_{k3}\cdot \phi_{23}}{c_{k3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{k3} , b_{k3}, c_{k3}\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Dann wünsche ich Euch noch viel Spaß damit. Vielleicht sogar im harmonischen Kreise von Gleichgesinnten?

Gruß Conny
.

16.06.2022, 04:47

klauss

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RE: Kreisharmonien im Rechteck
Mich interessieren in erster Linie Berechnungen von praktischem Nutzen, was hier die Ermittlung der fehlenden Größen im Grundzustand bedeutet.
Ich hoffe, dass ich mit meinem Ergebnis zu
Frage 2
$\begin{eqnarray*} \frac{b}{a}=\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
richtig liege.
Solchenfalls könnte ich auch zugleich Frage 3 beantworten, halte die Lösung aber zurück, da sie eher ein Abfallprodukt der Rechnung zu 2 darstellt.

Die Zirkelkonstruktionen überlasse ich den bekannten Experten ebenso wie den Tüftlern die weiteren Fleißaufgaben.

16.06.2022, 09:14

Leopold

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Frage 1

Gehen wir, wie in deiner Figur dargestellt, davon aus, daß der Kreis $\begin{align*} k_1 \end{align*}$ entlang der Strecke $\begin{align*} a \end{align*}$ bereits konstruiert ist und in den Enden von $\begin{align*} a \end{align*}$ im rechten Winkel Halbgeraden nach rechts gezeichnet sind. Die obere Halbgerade heiße $\begin{align*} h \end{align*}$ .

1. Die Gerade, die zu $\begin{align*} h \end{align*}$ parallel ist und durch den Mittelpunkt $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ von $\begin{align*} k_1 \end{align*}$ geht, schneidet $\begin{align*} k_1 \end{align*}$ in zwei Punkten $\begin{align*} P \end{align*}$ (links) und $\begin{align*} Q \end{align*}$ (rechts).

2. $\begin{align*} R \end{align*}$ sei die Mitte der Strecke $\begin{align*} M_1Q \end{align*}$ .

3. Der Kreis um $\begin{align*} P \end{align*}$ durch $\begin{align*} R \end{align*}$ schneidet $\begin{align*} h \end{align*}$ in $\begin{align*} S \end{align*}$ .

4. Die Parallele $\begin{align*} u \end{align*}$ zu $\begin{align*} a \end{align*}$ durch $\begin{align*} R \end{align*}$ schneidet $\begin{align*} h \end{align*}$ in $\begin{align*} T \end{align*}$ .

5. Der Kreis um $\begin{align*} T \end{align*}$ durch $\begin{align*} S \end{align*}$ schneidet $\begin{align*} u \end{align*}$ in den Punkten $\begin{align*} U \end{align*}$ (unten) und $\begin{align*} V \end{align*}$ (oben). (Der Kreis hat bereits den gesuchten Radius $\begin{align*} r_2 \end{align*}$ .)

6. $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ , der Mittelpunkt von $\begin{align*} k_2 \end{align*}$ , ist nun Schnittpunkt der Parallelen von $\begin{align*} h \end{align*}$ durch $\begin{align*} U \end{align*}$ mit dem Kreis um $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ , der die Strecke $\begin{align*} RV \end{align*}$ als Radius besitzt.

Frage 2

$\begin{align*} \frac{b}{a} = \sqrt{5} \end{align*}$

Frage 3

$\begin{align*} \varphi = \varphi_{23} = \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{5} \right) \ \ \text{(goldener Schnitt)} \end{align*}$

Frage 4

$\begin{align*} \frac{A_2}{A_3} = 1 + 1 \varphi \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{A_1}{A_2} = 2 + 3 \varphi \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{A_1}{A_3} = 5 + 8 \varphi \end{align*}$

$\begin{align*} 1,1,2,3,5,8,\ldots \ \ \text{Fibonacci} \end{align*}$

16.06.2022, 11:01

Conny_1729

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Alle Antworten von Leopold sind goldrichtig! Ich habe mir auch die Konstruktion angeschaut und nachvollzogen (siehe Anlage). Das passt! Geometrische Lösungen gibt es demnach mehrere. - Danke für deine Antworten!!!

Gruß
Conny
.

16.06.2022, 12:24

klauss

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RE: Kreisharmonien im Rechteck
Sehr schön. Dann als Nachtrag noch die Einzelwerte zu Frage 3:

$\begin{eqnarray*} R_{2}=\frac{3-\sqrt{5} }{4}a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_{3}=\left(\frac{\sqrt{5} }{2}-1 \right)a \end{eqnarray*}$

16.06.2022, 17:42

Conny_1729

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RE: Kreisharmonien im Rechteck
Die Radienangaben zu R2 und R3 sind ebenfalls korrekt.
$\begin{eqnarray*} R_{2} =\frac{a}{2}\cdot \left(2-\varphi \right) = \frac{a}{2}\cdot \varphi^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_{3} =\frac{a}{2}\cdot \left(2\varphi -3 \right) = \frac{a}{2}\cdot \varphi^{-3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{R_{2}}{R_{3}} =\varphi \texttt{: Goldener Schnitt} \end{eqnarray*}$

Danke für´s Feedback.

Gruß
Conny

29.06.2022, 21:02

Conny_1729

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RE: Kreisharmonien im Rechteck
... und hiermit reiche ich noch ein paar Antworten nach (für die restlichen Fragen 5...7).

Gruß
Conny
.

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