Exponentialverteilung Wartezeit

15.06.2022, 20:56

JolchiYeah

Es ging schneller als ich gedacht habe .
Habe hier poisson distribution angewendet ?

Was ist falsch ?
Ergebnis was da raus kommt wirkt Katastrophal

15.06.2022, 22:27

klauss

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Hier muß man tatsächlich sorgfältig lesen. Was man Dir sofort ankreiden kann, ist die angebliche Verwendung der Poisson-Verteilung, obwohl die Zufallsvariable schon ausdrücklich der Exponentialverteilung gehorcht.

Voraussetzung ist die Feststellung, dass die durchschnittliche Wartezeit bis zum Auflegen 3,5 Minuten beträgt. Wenn nach dem Anteil derjenigen gefragt ist, die auflegen, wenn sie länger als 5 Minuten warten müssen, ist das gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit, dass jemand bereit ist, höchstens 5 Minuten zu warten.
Mit dem Parameter
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda } =3,5 \end{eqnarray*}$
kann also die Exp-Verteilungsfunktion an der Stelle x=5 ausgewertet werden.

15.06.2022, 22:43

JolchiYeah

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1/lambda = 3.5 ?
lambda = 1/3.5 ?

Muss man nicht hier diese F(t) Formel anwenden ?

15.06.2022, 22:47

klauss

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Ja, bisher korrekt.

15.06.2022, 22:48

HAL 9000

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Anmerkung: Die Rechnung $\begin{eqnarray*} -3.5\cdot 5 \end{eqnarray*}$ macht schon aus Sicht der physikalischen Einheiten keinen Sinn: Die lautet nämlich für diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \mbox{min}^2 \end{eqnarray*}$ (in Worten: Quadratminuten). Das geht GAR NICHT, das Argument der Exponentialfunktion MUSS dimensionslos sein!

Mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{3.5~\mbox{min}} = \frac{1}{3.5}~\mbox{min}^{-1} \end{eqnarray*}$ geht das hingegen auf.

15.06.2022, 22:55

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} P(x>=5 ) =1- P(X<=5 ) = 1-(1-e^{-1/3.5*5} ) = 0.2397 \end{eqnarray*}$

Verstehe aber nicht wie du darauf gekommen bist das man hier 1/lambda = 3.5 setzt?

In paar anderen AUfgaben musste ich einfach für lambda in dieser F(t) Formel einsetzen und fertig Big Laugh

15.06.2022, 22:56

JolchiYeah

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Zitat:

Original von HAL 9000
Anmerkung: Die Rechnung $\begin{eqnarray*} -3.5\cdot 5 \end{eqnarray*}$ macht schon aus Sicht der physikalischen Einheiten keinen Sinn: Die lautet nämlich für diesen Ausdruck $\begin{eqnarray*} \mbox{min}^2 \end{eqnarray*}$ (in Worten: Quadratminuten). Das geht GAR NICHT, das Argument der Exponentialfunktion MUSS dimensionslos sein!

Mit $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{3.5~\mbox{min}} = \frac{1}{3.5}~\mbox{min}^{-1} \end{eqnarray*}$ geht das hingegen auf.

mit quadrat minuten hat mich auch verwundert Big Laugh

Aber verstehe den Gedankengang nicht warum man 1/lambda = 3.5 setzt

15.06.2022, 23:30

klauss

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Da Du die Rechnung umgedreht hast, will ich es etwas gründlicher notieren:
Sei (groß) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zufallsvariable, die die Wartezeit eines zufällig ausgewählten Anrufers beschreibt und (klein) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ihre Ausprägung, dann ist
$\begin{eqnarray*} P(X \leq x)=F(x) \end{eqnarray*}$
Der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda } \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ entspricht der durchschnittlichen Wartezeit.
Wir hatten gesagt, dass die Wahrscheinlichkeit einer Wartezeit von höchstens 5 Minuten gesucht ist, also ist zu berechnen
$\begin{eqnarray*} P(X \leq 5)=F(5) \end{eqnarray*}$

Führe die Rechnung so erneut durch.

Die Einheiten muß man bei dieser Rechnung schon im Hinterkopf haben, deswegen solltest Du den Hinweis beherzigen. Ich habe die Einheiten wegen der angesprochenen Dimensionslosigkeit gleich komplett weggelassen.
(Wollte Dich damit nicht auch noch belasten Big Laugh

)

16.06.2022, 00:00

JolchiYeah

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$\begin{eqnarray*} P(X<=5 ) = (1-e^{-1/3.5*5} ) = 0.7603 \end{eqnarray*}$

Ah das war ein kleiner Fehler mit grossen Folgen Big Laugh

Danke

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