Aquarium ohne Deckel

17.06.2022, 15:18

Benutzer121

Aquarium ohne Deckel

Meine Frage:
Hallo, warum ist die zweite Nebenbedingung nicht 2hb+2hb+2l? Zur Aufgabe: Ein Aquarium soll aus Glasscheiben, die eine Gesamtfläche von 20000cm^2 haben zusammengesetzt werden. Das Aquarium ist dreimal so lang wie breit und soll oben offen sein. Bei welchen Abmessungen hat das Aquarium das größte Fassungsvermögen?

Meine Ideen:
Lösung von meinem Lehrer im Anhang

17.06.2022, 15:27

Benutzer121

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RE: Aquarium ohne Deckel
Lösung kommt noch mein Computer streikt schreibe per Handy

17.06.2022, 17:16

G170622

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RE: Aquarium ohne Deckel
x= Länge
y =Breite = 3x
z = Höhe

O= 3x*x+2*x*z+2*y*z = 3x^2+2xz+6xz = 3x^2+8xz = 20000

z=(20000-3x^2)/(8x) = 20000/(8x) - 3/8*x

x*y*z ->max

3x^2*z -> max

Ersetze z durch 20000/(8x) - 3/8*x

f(x) = ...
f '(x) = ...

17.06.2022, 17:30

Leopold

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Solch eine Aufgabe zu stellen sollte mit Zuchthaus nicht unter 10 Jahren bestraft werden. Wie kann man nur so tun, als wären die 20000 cm² Glas irgendeine unförmige Masse, die man beliebig zu 5 Rechtecken formen könnte! In diesem Aquarium wollte ich kein Fisch sein. Die Katze muß nur warten, bis es in sich zusammengefallen ist. Dann gibt es Abendessen.

Nicht alle Aufgaben, die formal ein Schema erfüllen, passen auch tatsächlich in dieses.

17.06.2022, 18:27

Benutzer121

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Liegt das jetzt an der Aufgabe oder an meinem Lösungsversuch?

17.06.2022, 18:58

Leopold

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Du bist hier völlig unschuldig. Die Aufgabe ist sicher so gemeint, wie G170622 als Lösung vorschlägt. Dennoch bin ich der Meinung, daß man diese Aufgabe nicht so stellen darf.

1980 haben einige französische Mathematiklehrer Zweit- und Drittkläßlern die folgende Aufgabe gestellt:

Auf einem Schiff sind 26 Schafe und 10 Ziegen. Wie alt ist der Kapitän?

Und was haben die meisten Kinder wohl geantwortet?

17.06.2022, 19:09

Elvis

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17.06.2022, 19:12

Leopold

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Ich weiß nicht, ob sie das geantwortet haben. Aber ich vermute es stark. Denn Zweit- und Drittkläßler wissen noch nicht, daß man immer durch $\begin{align*} 2 \pi \operatorname{i} \end{align*}$ teilen muß.

17.06.2022, 19:27

Elvis

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Ich nehme an, dass die meisten Kinder damit anfangen, Zahlen zu addieren, und dabei kommt auch ein plausibles Ergebnis heraus. 42 ist in einem größeren Zusammenhang auch eine gute Schätzung. Multiplikation führt zu 260 Jahren, auch ein schönes Ergebnis, wenn der Kapitän wie früher üblich einen langen Bart hat. Ein nicht-ganzzahliges Ergebnis wäre sicher schockierend für fast alle Kinder.

17.06.2022, 19:36

Benutzer121

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Hallo, hier ist die Lösung von meinem Lehrer? Stimmt das?

18.06.2022, 10:35

Gualtiero

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Rechenweg ist OK.

Ich würde $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht gleich runden, sondern zumindest $\begin{eqnarray*} 47.14 \end{eqnarray*}$ für die Berechnung von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ verwenden und die Ergebnisse erst am Ende runden. Ist jetzt aber nicht das Allerwichtigste.

7) $\begin{eqnarray*} h \approx 47 \end{eqnarray*}$ muss ein Schreib- oder Rechenfehler sein. Ich bekomme $\begin{eqnarray*} \approx 35.36 \end{eqnarray*}$ , deswegen berechne auch $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ neu.

18.06.2022, 12:52

Leopold

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Es fällt mir schwer, eine falsche Aufgabe richtig zu rechnen. Aber da wir uns einig sind, daß der Kapitän 36 Jahre alt ist, können wir uns auch an diese Aufgabe wagen.

Für die Maximalstelle bekomme ich wie der Mathematiklehrer

$\begin{align*} b = b_{\text{max}} = \frac{100}{3} \sqrt{2} \approx 47{,}14 \end{align*}$

und für das maximale Volumen

$\begin{align*} V_{\text{max}} = V \left( b_{\text{max}} \right) = \frac{500000}{3} \sqrt{2} \approx 235702 \end{align*}$

Das mit 20000 cm² maximal erreichbare Volumen beträgt daher 235702 cm³, also 235,7 l.

Eigentlich ist es nicht besonders sinnvoll, in einer Anwendungsaufgabe mit Brüchen und Wurzelausdrücken zu rechnen. Da die gesamte Aufgabe aber sowieso fragwürdig ist, kommt es darauf auch nicht mehr an.

Etwas anderes als der Rechenfehler stört mich bei der Lösung des Lehrers mehr. Hier werden einfach formal ein paar Dinge abgeklappert, Häkchen gesetzt - und fertig ist die Lösung. Mich interessiert da eher anderes. Es fehlt zum Beispiel völlig die Angabe des im Rahmen der Aufgabenstellung sinnvollen Definitionsbereichs. Das gehört sicher zu den schwierigsten Teilen einer solchen Extremwertaufgabe, weil man da nämlich denken muß und nicht einfach Häkchen setzen kann. Nur weil es schwer ist, sollte man es aber nicht unterlassen.

Sicher ergeben $\begin{align*} b \end{align*}$ mit $\begin{align*} b<0 \end{align*}$ keinen Sinn. Und $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ ? Zumindest als Entartungsfall? Für $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ verschwinden wegen $\begin{align*} l=3b \end{align*}$ alle Rechtecksflächen $\begin{align*} bl,bh,lh \end{align*}$ . Die Nebenbedingung ist nicht erfüllbar. Man sollte daher $\begin{align*} b>0 \end{align*}$ voraussetzen.
Und eine Schranke für die $\begin{align*} b \end{align*}$ nach oben? Auch die zweite Variable $\begin{align*} h \end{align*}$ der Nebenbedingung sollte positiv ausfallen. Setzt man $\begin{align*} h=0 \end{align*}$ dort ein, erhält man als positive Lösung für $\begin{align*} b \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} \frac{100}{3} \sqrt{6} \end{align*}$ . Dieser Wert ist eine Schranke für $\begin{align*} b \end{align*}$ nach oben. Man kann ihn gerade noch zulassen, da die Nebenbedingung den entarteten Wert $\begin{align*} h=0 \end{align*}$ liefert. Man kann sich aber auch dafür entscheiden, diesen Randwert wegzulassen. Ich entscheide mich dafür, ihn mit dazuzunehmen. Dann haben wir die Funktion

$\begin{align*} V(b) = \frac{3}{8} b \left( 20000 - 3b^2 \right) \, , \ \ b \in \left( 0 , \frac{100}{3} \sqrt{6} \right] \end{align*}$

als Zielfunktion dieser Extremwertaufgabe. Die Untersuchung der Stelle $\begin{align*} b_2 \end{align*}$ in der Lehrerlösung ist absurd. Diese negative Stelle ist von vorneherein und für alle Zeiten ausgeschlossen. Sie führt zu keinem sinnvollen Fall der Extremwertaufgabe, auch zu keinem Entartungsfall. An einer für eine Aufgabe ausgeschlossenen Stelle kann man aber niemals irgendwelche ersten oder zweiten Ableitungen untersuchen.

19.06.2022, 18:50

Gualtiero

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OFF TOPIC
(Ganz allgemein habe ich zum Thema "Sinnhaftigkeit von Textaufgaben" in irgendeinem Thread schon mal geantwortet, finde ihn aber nicht mehr.)

Zitat:

Original von Leopold
Solch eine Aufgabe zu stellen sollte mit Zuchthaus nicht unter 10 Jahren bestraft werden. Wie kann man nur so tun, als wären die 20000 cm² Glas irgendeine unförmige Masse, die man beliebig zu 5 Rechtecken formen könnte!

Ich halte die Aufgabe zwar auch nicht für praxistauglich, erlaube mir aber die Bemerkung, dass andere Aufgaben das auch nicht sind. Und das müssen sie auch nicht, denn der Sinn von Textaufgaben liegt für mich darin, mathematische Zusammenhänge auf die modellhaft vereinfachte Realität zu übertragen. Niemand hier baut wirklich ein Aquarium, bohrt Tunnel, lenkt Schiffe oder Flugzeuge per Vektorrechnung, schickt Autos mit hoher Geschwindigkeit auf rechtwinklige Kreuzungen etc. Das sind Gelegenheiten zum Anwenden von mathematischem Denken an einfachen Modellen. Deshalb verstehe ich nicht, warum Du eine Aufgabe herauspickst und in Grund und Boden verdammst. verwirrt

Wie man an den lehrreichen Ausführungen in Deinem obigen Beitrag sieht, ist die Aufgabe bestens geeignet, um Extremwertberechnung einzuüben. Wenn der Fragesteller nur den größten Teil davon verstünde, wäre eine positive Note in Mathe gesichert. Da ist es doch egal, über welche Aufgaben er zu diesem Verständnis gelangt.
/OFF TOPIC

19.06.2022, 19:24

Leopold

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Vielleicht war ich etwas arg streng. Ich wäre bereit, das Zuchthaus auf 8 Jahre zu verkürzen und bei guter Führung die Strafe nach der Hälfte zu erlassen.

Im Ernst. Natürlich sind solche Aufgaben immer Modellierungen vereinfachter Situationen. Das ist nicht mein Kritikpunkt. Mich ärgert nur, wenn eine realitätsferne Scheinanwendbarkeit vorgetäuscht wird, wo es doch letztlich um bloße Mathematik geht. Vielleicht würde eine andere Formulierung der Aufgabe mich zufriedenstellen. Etwa so:

Ein oben offenes quaderförmiges Aquarium soll so gebaut werden, daß für die Oberfläche 20000 cm² Glas verbraucht werden. Mit welchen Maßen hat es das größte Fassungsvermögen?

Oder noch ehrlicher:

Welcher oben offene Quader mit 20000 cm² Oberfläche hat den größten Rauminhalt?

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