Methode der kleinsten Quadrate

17.06.2022, 15:20

tipa

Methode der kleinsten Quadrate

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich komme bei einer Aufgabe zur Methode der kleinsten Quadrate nicht weiter bzw stehe ein bisschen auf dem Schlauch. Die vollständige Aufgabe habe ich als Bild angehängt.
Ich freue mich über Lösungsansätze.

Meine Ideen:
Wir hatten bis jetzt nur den linearen Fall daher habe ich leider keine Idee ob ich einfach den gleichen Weg gehen kann.

17.06.2022, 16:00

Huggy

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RE: Methode der kleinsten Quadrate

Zitat:

Original von tipa
Wir hatten bis jetzt nur den linearen Fall daher habe ich leider keine Idee ob ich einfach den gleichen Weg gehen kann.

Du kannst den gleichen Weg gehen:

- Summe der Abweichungsquadrate hinschreiben
- Summe nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ableiten
- Ableitung gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ setzen
- die sich ergebende Gleichung nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen
- fertig

17.06.2022, 17:10

tipa

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RE: Methode der kleinsten Quadrate
Danke für die Hilfe, ich habe jetzt folgendes berechnet:

$\begin{eqnarray*} S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}-f(x,a))^2= (y_{i}-ax^2+y_{0})^2 \end{eqnarray*}$

partielle Ableitung nach a:

$\begin{eqnarray*} 0=\frac{dS}{da}=\sum\limits_{i=1}^{n} 2x^2(ax^2-y_{i}-y_{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{y_{i}}{x^2} + \frac{y_{0}}{x^2} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

17.06.2022, 17:24

Huggy

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RE: Methode der kleinsten Quadrate
Die berechneten Werte müssen an den Stellen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ berechnet werden, nicht an einer allgemeinen Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Ich korrigiere mal deine erste Zeile:

$\begin{eqnarray*} S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}-f(x_i,a))^2=\sum_{i=1}^n (y_{i}-ax_i^2-y_{0})^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt mach mal weiter.

17.06.2022, 18:10

tipa

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RE: Methode der kleinsten Quadrate
Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{dS}{da} =\sum\limits_{i=1}^{n} 2x_{i}^2(y_{i}-ax^2+y_{0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{y_{i}}{x_{i}^2} - \frac{y_{0}}{x_{i}^2} \end{eqnarray*}$

17.06.2022, 18:43

Huggy

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RE: Methode der kleinsten Quadrate
Die Ableitung ist richtig. An einer Stelle fehlt zwar ein Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Das ist wohl nur ein Schreibfehler. Aber die Auflösung nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Du musst zunächst das $\begin{eqnarray*} x_i^2 \end{eqnarray*}$ in die Klammer hinein multiplizieren. Dann wird die Summe in zwei Summen aufgeteilt. Die eine enthält den Term mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , die anderen alle anderen Terme. Die zweite Summe wird auf die andere Seite gebracht. In der ersten Summe kann man $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus der Summe als Faktor herausziehen. Dann kann man dividieren.

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