Ableiten von x/Konstanten

17.06.2022, 16:37

Ric20051992

Ableiten von x/Konstanten

Meine Frage:
Wenn x abgeleitet 1 ist, warum ist in f(x) =ax^2+bx+c das c abgeleitet nicht auch 1 sondern 0?

Meine Ideen:
Ich verstehe dass die Konstanten in der Ableitung eigentlich wegfallen denn sie haben ja keine Steigung. Aber mathematisch gesehen müsste c^1 doch zu 1*c^0 = 1*1=1 werden, oder nicht?

17.06.2022, 16:44

G170622

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RE: Ableiten von x/Konstanten
c ist eine Konstante, Konstanten werden zu 0 abgeleitet

mit könnte es so herleiten:
$\begin{eqnarray*} 1=x^0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c= 1*c= x^0*c \end{eqnarray*}$

-> Ableitung: $\begin{eqnarray*} 0*x^{-1}*c = 0/x = 0 \end{eqnarray*}$

17.06.2022, 16:49

Huggy

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RE: Ableiten von x/Konstanten
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

18.06.2022, 06:49

G180622

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RE: Ableiten von x/Konstanten
Ich habe doch geschrieben:

0*x^-1 = 0

Ist das falsch? Die Regel ist doch: x^n -> n*x^(n-1). verwirrt

18.06.2022, 07:03

Ulrich Ruhnau

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RE: Ableiten von x/Konstanten

Zitat:

Original von Ric20051992
[Ich verstehe dass die Konstanten in der Ableitung eigentlich wegfallen denn sie haben ja keine Steigung.

Richtig!

Zitat:

Aber mathematisch gesehen müsste c^1 doch zu 1*c^0 = 1*1=1 werden, oder nicht?

Da muß man eine Ableitung nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ von einer Ableitung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Wenn bei einer Veränderung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ konstant bleibt, kann die Ableitung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nur null sein.

18.06.2022, 08:01

Finn_

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Die Argumentation von G170622 ist stichhaltig, wobei bei der Wahl des Definitionsbereichs der Funktion allerdings Vorsicht geboten ist. In akkuraten Formelsammlungen findet man zu $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z_{>0} \end{eqnarray*}$ die Ableitungsregel

$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R,\quad f(x):=x^n,\quad f'(x)=nx^{n-1}, \end{eqnarray*}$

und zu $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Regel

$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R_{>0}\to\mathbb R,\quad f(x):=x^r,\quad f'(x)=rx^{r-1}. \end{eqnarray*}$

Man kann die zweite beispielsweise mit der Kettenregel aus der Beziehung

$\begin{eqnarray*} x^r = \exp(r\ln(x)) \end{eqnarray*}$

herleiten.

18.06.2022, 08:46

Leopold

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Und genau das, worum es geht, fehlt hier. Was ist nun mit dem vermaledeiten $\begin{align*} x^0 \end{align*}$ ? Teufel

Es geht ja schon los mit dem Definitionsbereich dieses Terms. Es ist aber auch zum Mäusemelken...

18.06.2022, 08:54

Huggy

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Die Regel

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx}x^n=n x^{n-1} \end{eqnarray*}$

gilt eigentlich nur für $\begin{eqnarray*} n \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Sie wird für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ nur zufällig richtig, weil dann der Vorfaktor $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ den eigentlich falschen Faktor $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ wieder "vernichtet". Und auch das gilt nur eingeschränkt, denn

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot x^{-1}= \frac 0 x =0 \end{eqnarray*}$

gilt nur für $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich der unbestimmte Ausdruch $\begin{eqnarray*} \frac 0 0 \end{eqnarray*}$ . Man käme also zu dem Schluss, dass die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist. Das ist sie aber. Der Verweis auf

Zitat:

Original von Finn_
und zu $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ die Regel

$\begin{eqnarray*} f\colon\mathbb R_{>0}\to\mathbb R,\quad f(x):=x^r,\quad f'(x)=rx^{r-1}. \end{eqnarray*}$

ist auch nicht hilfreich, denn

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} x^0=0 \end{eqnarray*}$

gilt ja für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und nicht nur für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ . Der langen Rede kurzer Sinn:

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx}x^0=0 \end{eqnarray*}$

ergibt sich aus der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzquotienten ohne wenn und aber. Da muss man nicht mit nur eingeschränkt gültigen Regeln argumentieren.

18.06.2022, 09:04

Leopold

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@ Huggy

Und was ist mit $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ ?

$\begin{align*} f(x)=x^1 \end{align*}$
$\begin{align*} f'(x)=1 \cdot x^0 \end{align*}$

$\begin{align*} f'(0)=1 \cdot 0^0 \end{align*}$

18.06.2022, 09:14

Huggy

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Gute Frage!
Jedenfalls ergibt auch hier die Definition der Ableitung als Grenzwert die uneingeschränkte Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} x^1 =1 \end{eqnarray*}$

18.06.2022, 09:30

Finn_

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Ein weiteres Argument dafür, $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ zu definieren.

18.06.2022, 09:40

Leopold

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Wenn ich in der 9. Klasse den Potenzbegriff erweitere, taucht irgendwann einmal die Frage nach $\begin{align*} 0^0 \end{align*}$ auf. Ich schreibe dann die beiden Zahlenfolgen auf:

$\begin{align*} 5^0, \, 4^0, \, 3^0, \, 2^0, \, 1^0 \longrightarrow 0^0 = \text{???} \end{align*}$

$\begin{align*} 0^5, \, 0^4, \, 0^3, \, 0^2, \, 0^1 \longrightarrow 0^0 = \text{???} \end{align*}$

Offenbar führt das Permanenzprinzip hier nicht weiter. Man kommt nicht zum selben Ziel. Daher sagen wir: $\begin{align*} 0^0 \end{align*}$ ist ein undefinierter Ausdruck.

In der 10. Klasse sage ich dann: Im Rahmen der Potenzfunktionen interpretieren wir im Fall $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ , also $\begin{align*} f(x)=x^0 \end{align*}$ , den Ausdruck $\begin{align*} 0^0=1 \end{align*}$ , damit das Loch im Graphen, der sonst eine Parallele zur $\begin{align*} x \end{align*}$ -Achse bei $\begin{align*} y=1 \end{align*}$ ist, verschwindet. Im allgemeinen bleibt aber $\begin{align*} 0^0 \end{align*}$ undefiniert. Das ist ein wenig Wischiwaschi, aber damit mogle ich mich über diese Sache hinweg. Mit einem komplexen Begriff wie stetiger Ergänzung kann ich da nicht kommen. Im übrigen: Den Standardnormalschüler interessiert das sowieso nicht.

(Während ich das gerade abschicken will, sehe ich, daß Finn_ sich geäußert hat. Man kann zu jeder reellen Zahl $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ finden, die in einer punktierten Umgebung von 0 stetig ist, so daß $\begin{align*} \lim_{x \to 0} f(x) = \gamma \end{align*}$ ist und der Funktionsterm auf den unbestimmten Ausdruck $\begin{align*} 0^0 \end{align*}$ hinausläuft. Die Analysis macht es einem daher schwer, $\begin{align*} 0^0=1 \end{align*}$ festzulegen. Daß das im Rahmen der Algebra eine oft sinnvolle Festlegung ist, stimmt auch.)

18.06.2022, 10:44

Finn_

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Für Lehrer und Dozenten sehr zu empfehlen ist die Lektüre »Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle« von Triceratops auf Matroids Matheplanet, 14. August 2020. Ebenfalls zu empfehlen sind die Kommentare, die einem das Gefühl geben, etwas dazugelernt zu haben. Bei den Kommentarspalten gewisser überregionaler Zeitungen beschwingt mich irgendwie meist das konträre Gefühl.

18.06.2022, 11:31

Leopold

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@ Finn_

Zu deinem Link:
Jemanden, der behauptet, $\begin{align*} 0 \not \in \mathbb{N} \end{align*}$ sei falsch, kann ich nicht ernst nehmen. Der Autor stellt die Sache auf den Kopf. Peano bezeichnete das erste Element der natürlichen Zahlen zunächst mit 1, in späteren Veröffentlichungen mit 0. Es ist schlicht eine Konvention, wie man das macht. Und es gibt Gründe dafür, mit 1 zu beginnen, und Gründe, mit 0. Es war eher gängige Praxis, mit 1 zu beginnen. Das hat etwas mit Sprache zu tun. Das 1. Element mit 1, liegt näher, als das 1. Element mit 0 zu bezeichnen. Oder soll man das "nullte" Element sagen? In den letzten Jahrzehnten hat sich aber die Waage auf die andere Seite geneigt. Die überwiegende Mehrheit der mathematischen Autoren läßt heute $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ mit 0 beginnen. Das ändert aber nichts daran, daß das eine Konvention ist. Herleiten kann man es nicht. Ich denke, die Informatik hat ihren Teil dazu beigetragen, daß sich diese Auffassung durchgesetzt hat. Wenn halt alle Bits 0 sind, geht es los. Aber wie viele kämpfen immer wieder mit dieser Konvention, wenn sie zum Beispiel ein Feld von $\begin{align*} n \end{align*}$ Variablen mit $\begin{align*} 0,1,\ldots,n-1 \end{align*}$ nummerieren und bei einer Schleife eine falsche Abbruchbedingung haben, weil sie mit der natürlichen Sprache und der Programmiersprache durcheinanderkommen. Eine häufig auftretende Fehlerquelle. Sicher, man kann alles lernen, auch dieses. Und die DIN-Norm für Schrauben ist unbestreitbar ein Vorteil für alle Ingenieure und Handwerker. Die DIN-Norm für $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ ist aber Anmaßung.
Gewiß könnte man $\begin{align*} \mathbb{N} \end{align*}$ irgendwann einmal normieren. Das würde ich aber lieber einem internationalen Kongreß von Mathematikern überlassen als dem Deutschen Institut für Normung. Wobei auch hier zu befürchten steht, daß sich da eher Verbandsmathematiker und Gremienhengste treffen als die Koryphäen des Fachs.

18.06.2022, 13:10

Finn_

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Klar, an der Stelle ist der Artikel ein wenig rechthaberisch. Man muss die Position dabei aber unter dem Streben des Autors sehen, zu einer natürlichen, im Holistischen harmonierenden Begriffserklärung zu gelangen. Vom modernen Standpunkt aus gilt es dabei, die Grundlagen der Logik, Mengenlehre, Algebra, Kategorientheorie und Typentheorie zu berücksichtigen. Die Null muss bspw. dabei sein, weil sie der Kontradiktion, der leeren Menge und dem leeren Typ entspricht.

In einem guten Essay geht es ja nicht darum, unbedingt die Autorposition zu affirmieren oder wie bei einem Amtsblatt dogmatisch Folge zu leisten. Wichtig ist vielmehr ein Erkenntnisgewinn, den man dann in eigenen didaktischen Erwägungen nutzen kann. Gute Essays trennen insofern streng zwischen Analyse und Meinung. In den Leserkommentaren gewisser überregionaler Zeitungen fehlen dagegen die Analysen gefühlt vollständig, es bleiben nur noch die Meinungen übrig.

Bei der Diskussion um das Symbol $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ kommt man irgendwie auf keinen grünen Nenner mehr. Mittlerweile gehe ich auch dazu über, die unmissverständlichen Symbole $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{>0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{\ge 0} \end{eqnarray*}$ und ihre Sprechweisen positive ganze Zahlen und nichtnegative ganze Zahlen zu benutzen.

18.06.2022, 17:39

Leopold

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Zitat:

Original von Finn_
Klar, an der Stelle ist der Artikel ein wenig rechthaberisch.

So kann man das sagen. Im Prinzip sagt er: Ich habe recht, und wer das nicht auch so sieht, ist dumm. Dedekind, einer der ersten, der sich im modernen Sinn mit der Menge der natürlichen Zahlen befaßt hat, ist solch ein "Dummkopf". Er beginnt die Menge (bei Dedekind: das System) der natürlichen Zahlen mit 1 und nennt die Menge N. Siehe das pdf-Dokument auf Seite 39 (im Buch Seite 20, Nr. 71).

18.06.2022, 18:57

Elvis

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Wie alle algebraischen Strukturen sind auch die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Es ist egal, ob man bei 0 oder 1 zu zählen anfängt, wesentlich sind die Axiome, mit denen die natürlichen Zahlen eindeutig definiert werden. Welche konkrete Menge im Einzelfall zugrunde gelegt wird, darf man jeweils entscheiden, indem man sie zweckorientiert auswählt. Für mich als Dedekind-Fan beginnt sie bei 1, in meiner früheren Eigenschaft als beruflicher Software-Entwickler begann sie bei 0. Wer immer sich der natürlichen Zahlen bedienen möchte, kann nicht dumm sein, und jede/r der/die die natürlichen Zahlen versteht, gehört zu unserem kleinen aber feinen Kreis der intelligenten Menschen (... oder was immer Ihr da draußen für Entitäten sein mögt ...).

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