Divergenz uneigentliches Integral

18.06.2022, 16:54	_Bastii	Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz uneigentliches Integral Meine Frage: Hallo, ich benötige Hilfe bei der Abschätzung eines uneigentlichen Integrals. Es geht um folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty } \! \frac{ln(2+cos^{2}(x) }{x} \, dx \end{eqnarray}$ Die Aufgabe ist, dass Integral auf Konvergenz zu untersuchen und ggf. zu berechnen. Meine Ideen: Aus den Lösungen weiß ich bereits, dass das Integral divergent ist. Berechnen kann ich es allerdings nicht, da mir, mit den mir bekannten Methoden, keine Umformungen einfallen, um das Integral zu vereinfachen. Daher dachte ich, dass ich am besten das Minorantenkriterium verwenden kann. Ich habe mir die Funktion mal plotten lassen und überlegt, was als Minorante infrage kommt. Für die Funktion $\begin{eqnarray} g(x) = e^{-x} \end{eqnarray}$ müssten doch eigentlich alle Kriterien für eine Minorante gelten. Also $\begin{eqnarray} 0 \leq e^{-x} \leq \frac{ln(2+cos^{2}(x) }{x}, \forall x \geq 1 \end{eqnarray}$ Jedoch divergiert $\begin{eqnarray} \int_{1}^{\infty } \! e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$ nicht. Ich denke daher, dass ich eine falsche Abschätzung getroffen habe. Wie finde ich eine gute Abschätzung? Gibt es generelle Tricks, wie man eine gute Abschätzung finden kann?
18.06.2022, 17:08	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen $\begin{eqnarray} \cos(x)^2\ge 0 \end{eqnarray}$ kannst du es ja mit $\begin{eqnarray} x\mapsto\frac{\ln(2)}{x} \end{eqnarray}$ probieren.

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