Neue Dichtefunktion

18.06.2022, 20:11

prime

Neue Dichtefunktion

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich habe eine Dichtefunktion der Variable a gegeben
$\begin{eqnarray*} w(a)=f(a) \end{eqnarray*}$
Jetzt hat man aber $\begin{eqnarray*} a=2b^2 \end{eqnarray*}$
Ich suche die Dichtefunktion von b

Viele Grüße

Meine Ideen:
Ich würde so rechnen
$\begin{eqnarray*} w(b)=C\sqrt{\frac{f(a)}{2} } \end{eqnarray*}$
und mit C normieren

18.06.2022, 23:34

Finn_

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Transformationssatz für Dichten, engl. change of variables.
Seien $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen mit Dichten $\begin{eqnarray*} f_X,f_Y\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare streng monotone Funktion und $\begin{eqnarray*} Y=g(X) = g\circ X \end{eqnarray*}$ . Dann gilt

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \left| \frac{\mathrm d}{\mathrm dy}(g^{-1}(y)) \right|. \end{eqnarray*}$

19.06.2022, 08:54

Huggy

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Ist das die vollständige Aufgabenbeschreibung?

Hintergrund der Frage: Man betrachte statt der stetigen Zufallsvariablen mal zwei diskrete Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A=2B^2 \end{eqnarray*}$

Gegeben sei die Zähldichte $\begin{eqnarray*} w_A(a) \end{eqnarray*}$ und gesucht sei die Zähldichte $\begin{eqnarray*} u_B(b) \end{eqnarray*}$ . Es sei z. B.

$\begin{eqnarray*} w_A(2)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_A(a)=0 \text { für } a \neq 2 \end{eqnarray*}$

Es könnte jetzt sein:

$\begin{eqnarray*} u_B(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_B(b)=0 \text { für } b \neq 1 \end{eqnarray*}$

Es könnte aber auch sein:

$\begin{eqnarray*} u_B(1)=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_B(-1)=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_B(b)=0 \text { für } b \neq \pm1 \end{eqnarray*}$

Man kann die Zähldichte von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ beliebig zwischen den möglichen Werten $\begin{eqnarray*} B=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=-1 \end{eqnarray*}$ aufteilen.

19.06.2022, 09:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Finn_
Sei $\begin{eqnarray*} g\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine stetig differenzierbare streng monotone Funktion und $\begin{eqnarray*} Y=g(X) = g\circ X \end{eqnarray*}$ .

... was hier mit $\begin{eqnarray*} g(t)=2t^2 \end{eqnarray*}$ nicht gegeben ist. Augenzwinkern

In solchen Fällen kommt man nicht umhin, statt über die Umkehr- dann doch über die Urbild-Funktion zu gehen: D.h. mit $\begin{eqnarray*} B=2A^2 \end{eqnarray*}$ folgt für die Verteilungsfunktion im Fall $\begin{eqnarray*} b\geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_B(b) = P(B\leq b) = P\left(2A^2\leq b\right) = P\left(|A|\leq \sqrt{\frac{b}{2}}\right) = F_A\left(\sqrt{\frac{b}{2}}\right)-F_A\left(-\sqrt{\frac{b}{2}}-0\right) \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zudem stetig verteilt mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ , so können wir (fast überall) nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ differenzieren:

$\begin{eqnarray*} f_B(b) = \left(f_A\left(\sqrt{\frac{b}{2}}\right)+f_A\left(-\sqrt{\frac{b}{2}}\right)\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{2b}} \end{eqnarray*}$ .

Im Fall $\begin{eqnarray*} b<0 \end{eqnarray*}$ haben wir indes einfach $\begin{eqnarray*} F_B(b) = 0 \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} f_B(b) = 0 \end{eqnarray*}$ .

19.06.2022, 11:48

prime

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Danke für die Antworten

gegeben ist
$\begin{eqnarray*} w(a)=\frac{64}{\sqrt{2} \pi } \frac{\sqrt{a} }{(1+2a)^4} \end{eqnarray*}$
a (von Null bis unendlich) ist die kinetische Energie.
Ich hatte mich gefragt, ob man eine Aussage über die Geschwindigkeiten machen kann

und das ist offenbar doch etwas schwieriger als gedacht

19.06.2022, 12:45

Huggy

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Zitat:

Original von prime
und das ist offenbar doch etwas schwieriger als gedacht

Nicht unbedingt. Die Energie kann nicht negativ werden, die Geschwindigkeit schon. Man braucht eine zusätzliche Information über die Geschwindigkeit. Wenn aus physikalischen Gründen negative und positive Geschwindigkeiten gleich wahrscheinlich wären, lässt sich das problemlos mit dem Transformationssatz lösen.

19.06.2022, 19:01

prime

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Der Erwartungswert von A ist $\begin{eqnarray*} E(A)=0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=2B^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man beim Erwartungswert von B zwei Möglichkeiten betrachten

1.Man betrachtet die Beträge von B. Dann müsste doch $\begin{eqnarray*} E(B)=\sqrt{\frac{0.5}{2}} =0.5 \end{eqnarray*}$ sein
oder schreibt man $\begin{eqnarray*} E(|B|)=\sqrt{\frac{0.5}{2}} =0.5 \end{eqnarray*}$ ?

2. Man betrachtet B mit Vorzeichen. Dann könnte man ohne weitere Angaben nichts über $\begin{eqnarray*} E(B) \end{eqnarray*}$ aussagen

Stimmt das?

19.06.2022, 20:30

HAL 9000

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Wie Leopold vor kurzem andeutete "sehr heiß heute":

Ich war tatsächlich von $\begin{eqnarray*} B=2A^2 \end{eqnarray*}$ ausgegangen, tatsächlich steht im Eröffnungsbeitrag aber $\begin{eqnarray*} A=2B^2 \end{eqnarray*}$ . Ich bitte daher um Entschuldigung für die Verwirrung, die ich oben möglicherweise angerichtet habe. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} g(t) = \sqrt{\frac{t}{2}} \end{eqnarray*}$ ist als Funktion $\begin{eqnarray*} g:~\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}_+ \end{eqnarray*}$ dann doch bijektiv, womit der Weg von Finn gangbar ist.

20.06.2022, 08:23

Huggy

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(1) Sei $\begin{eqnarray*} B \geq 0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben. Dann ergibt der Transformationssatz

$\begin{eqnarray*} w_B(b)=\frac {256 b^2}{\pi (1+4b^2)^4} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} E(B)=\frac 4 {3 \pi} \end{eqnarray*}$

meint mein CAS.

(2) Sei $\begin{eqnarray*} B \geq 0 \end{eqnarray*}$ nicht vorgegeben. Zur Unterscheidung nenne ich dieses $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Dann sind z. B.

$\begin{eqnarray*} w_C(c)=\alpha w_B(c) \text { für }c\leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_C(c)=(1-\alpha) w_B(c) \text { für }c > 0 \end{eqnarray*}$

mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} 0 \leq\alpha \leq 1 \end{eqnarray*}$ mögliche Lösungen für $\begin{eqnarray*} w_C(c) \end{eqnarray*}$ . Das Problem ist ohne zusätzliche Informationen über $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig lösbar. Bei $\begin{eqnarray*} \alpha= \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ergäbe sich $\begin{eqnarray*} E(C)=0 \end{eqnarray*}$ .

(3) Wäre bei (2) nicht $\begin{eqnarray*} w_A(a) \end{eqnarray*}$ gegeben, sondern $\begin{eqnarray*} w_C(c) \end{eqnarray*}$ , ließe sich daraus $\begin{eqnarray*} w_A(a) \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmen. Das wäre dann die Urbildbetrachtung von HAL:

20.06.2022, 09:07

HAL 9000

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Ich gehe noch auf diesen Trugschluss ein:

Zitat:

Original von prime
Der Erwartungswert von A ist $\begin{eqnarray*} E(A)=0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=2B^2 \end{eqnarray*}$

[...]

1.Man betrachtet die Beträge von B. Dann müsste doch $\begin{eqnarray*} E(B)=\sqrt{\frac{0.5}{2}} =0.5 \end{eqnarray*}$ sein

Aus $\begin{eqnarray*} A=g(B) \end{eqnarray*}$ kann man allenfalls dann $\begin{eqnarray*} E(A) = g(E(B)) \end{eqnarray*}$ folgern, wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine lineare Funktion ist oder (aber das ist trivial) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ eine (fast sicher) konstante Zufallsgröße ist. I.a. ist diese Folgerung aber falsch, so auch hier bei deinen Zufallsgrößen und der nichtlinearen Transformationsfunktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ konvex (so wie hier), so liefert die Jensensche Ungleichung immerhin die Abschätzung $\begin{eqnarray*} E(A)=E(g(B)) \geq g(E(B)) \end{eqnarray*}$ , d.h. im Falle $\begin{eqnarray*} E(A)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(b)=2b^2 \end{eqnarray*}$ wäre das dann $\begin{eqnarray*} E(B)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , was für das von Huggy berechnete tatsächliche Ergebnis $\begin{eqnarray*} E(B) = \frac{4}{3\pi}\approx 0.4244 \end{eqnarray*}$ ja auch zutrifft. Die Jensensche Ungleichung liefert übrigens sogar $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ streng konvex und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nicht konstant ist.

20.06.2022, 16:31

prime

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Danke für die Antworten smile

24.06.2022, 18:12

prime

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Hallo

Ich habe noch 2 Fragen

Angenommen man hat
$\begin{eqnarray*} E(X), \,E(X^2) ,\,E(Y),\, Y=aX^2 \end{eqnarray*}$
(Dichtefunktionen sind nicht gegeben)

Kann man jetzt etwas aussagen über
1. $\begin{eqnarray*} E(Y^2) \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} E(X\cdot Y) \end{eqnarray*}$
bzw
$\begin{eqnarray*} coV(X,Y) \end{eqnarray*}$

24.06.2022, 19:56

Huggy

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Was es da an Beziehungen bzw. Definitionen gibt, sollte man jeder brauchbaren Formelsammlung entnehmen können. Seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Konstante. Es stehe $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ für den Erwartungswert, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ für die Varianz und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für die Kovarianz.

$\begin{eqnarray*} (1) \quad E(aX)=aE(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad E(X \cdot Y)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ sind natürlich nicht unabhängig und auch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ nicht.

$\begin{eqnarray*} (4) \quad V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (5) \quad C(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6) \quad C(X,X)=V(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (7) \quad C(X,Y)=0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Damit solltest du deine Fragen beantworten können.

25.06.2022, 08:34

Huggy

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Zitat:

Original von Huggy
Was es da an Beziehungen bzw. Definitionen gibt, sollte man jeder brauchbaren Formelsammlung entnehmen können. Seien $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Konstante. Es stehe $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ für den Erwartungswert, $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ für die Varianz und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ für die Kovarianz.

$\begin{eqnarray*} (1) \quad E(aX)=aE(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad E(X+Y)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad E(X \cdot Y)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=X \end{eqnarray*}$ sind natürlich nicht unabhängig und auch $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ nicht.

$\begin{eqnarray*} (4) \quad V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (5) \quad V(aX)=a^2V(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (6) \quad V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (7) \quad C(X,Y)=E(X\cdot Y)-E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (8) \quad C(X,X)=V(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (9) \quad C(X,Y)=0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

Damit solltest du deine Fragen beantworten können.

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