Tetraederwürfel

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19.06.2022, 13:01	Mia02	Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraederwürfel Meine Frage: Hallo Zusammen, leider stehe Ich vor diese Aufgabe: """ 5 Tetraeder (Augenanzahl von 1 bis 4) werden auf einmal geworfen. Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es, wenn a) keine weiteren Bedingungen vorliegen? b) die Augenzahl 1 genau 1 mal vorkommt? c) die Augenzahl 1 genau 2 mal vorkommt? """ Aber leider komme ich überhaupt nicht weiter. Es wäre super, wenn Ihr mir einen Hinweis geben könnt. Meine Ideen: a) ich denke, das ist eine Variation mit Wiederholung: 4^5 Ergebnissen b) meine Vorstellung ist, dass 4 "3 seitige Würfel" (Augen zahl von 2 bis 4) geworfen wird. Dabei wird zunächst die Reihenfolge außer Acht gelassen. Somit habe ich eine Kombination mit Wiederholung (3+4-1 über 4). Danach muss ich wiederum die Reihenfolge aller 5 Tetraeder beachten. Leider komme ich hier nicht weiter. Die Formel müsste am Ende irgendwas mit (3+4-1 über 4) * ? heißen. c) ähnlich wie oben. Die Formel am Ende müsste irgend was wie (3+3-1 über 3) * ? sein.
19.06.2022, 13:14	G180622	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder Kombinatorik b) 14^4 (5über1) c) 114^3*(5über2)
19.06.2022, 13:58	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a). Weil die Tetraeder auf einmal geworfen werden, soll die Reihenfolge offenbar keine Rolle spielen. Ein Ergebnis soll fünf Elemente enthalten. Dies kodiert man als 5-elementige Teilmengen. Weil dabei allerdings ein Element mehrfach vorkommen darf, handelt es sich um 5-elementige Multimengen. Äquivalentes Experiment: Urne mit vier unterschiedlichen Kugeln, beispielsweise nummeriert mit 1, 2, 3, 4. Es wird fünf mal eine Kugel gezogen und danach wieder zurückgelegt. Die Reihenfolge der Ziehungen spielt keine Rolle.
19.06.2022, 15:03	Mia02	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Finn_, vielen Dank für deine Antwort. Du meinst also, dass die Formel dann ((n + k - 1 über k ))^5 mit n = 4 und k = 5 sind? Viele Grüße
19.06.2022, 15:14	Mia02	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder Kombinatorik Hi G180622, vielen Dank. Leider verstehe ich deinen Ansatz nicht ganz. Kannst du eventuell näher auf deine Formeln eingehen? Das wäre für mich sehr hilfreich. Z.b. zu b) Der Part "4^4" bedeutet, dass du 4 Tetraeder wirfst und es kann alles von 1 bis 4 heraus kommen? Aber die Augenzahl 1 darf laut Aufgabenstellung doch gar nicht mehr vorkommen? Den Teil "(5über1)" verstehe ich leider komplett nicht. Viele Grüße
19.06.2022, 16:21	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt eine Interpretation der Binomialkoeffizienten als Anzahl monotoner Gitterwege. Darunter versteht man Gitterwege, bei denen nur ein Schritt nach rechts oder ein Schritt nach oben erlaubt ist. Die Anzahl der monotonen Wege vom Gitterpunkt $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ zum Gitterpunkt $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ beträgt $\begin{eqnarray} \frac{(x+y)!}{x!y!} = \binom{x+y}{x} = \binom{x+y}{y}. \end{eqnarray}$ Betrachte nun diese Abbildung zum Wurf der fünf Tetraeder: [attach]55439[/attach] Ein Schritt nach rechts bedeutet, eine feste Augenzahl zur Multimenge hinzuzufügen. Ein Schritt nach oben bedeutet, zur nächsten Augenzahl zu springen. Es gilt $\begin{eqnarray} x=k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=n-1, \end{eqnarray}$ wobei bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=5 \end{eqnarray}$ ist. Es ergibt sich $\begin{eqnarray} \binom{x+y}{x} = \binom{n+k-1}{k} \end{eqnarray}$ als Anzahl der k-elementigen Multimengen von Elementen aus einer Menge von n Elementen. Das ist die Anzahl der Kombinationen von k aus n mit Wiederholung.
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19.06.2022, 18:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles steht und fällt damit, ob die Tetraeder unterscheidbar sind oder nicht. Der einfachere Fall ist der der Unterscheidbarkeit (Vorstellung: ein rotes, ein gelbes, ein grünes, ein blaues, ein schwarzes Tetraeder). Dann ist bei a) die Antwort $\begin{align} 4^5 \end{align}$ korrekt. Sind dagegen die Tetraeder nicht unterscheidbar (Vorstellung: 5 gleichartige rote Tetraeder), ist es etwas komplizierter. Diesen Fall will ich jetzt studieren. Die aufliegenden fünf Augenzahlen notiert man zunächst in irgendeiner Reihenfolge. Man muß sich dabei klarmachen, daß zum Beispiel 13442 oder 34124 oder 42314 und so weiter dann dasselbe bedeuten. Um nun eine eindeutige Schreibweise zu haben, kann man festlegen, die Augenzahlen nicht fallend zu notieren. Im Beispiel von eben würde man daher 12344 schreiben. Jetzt kann man alle Möglichkeiten der Reihe nach angeben. Es beginnt mit 11111 und endet mit 44444. Der Anfang sieht so aus: 11111 11112 11113 11114 11122 11123 11124 11133 11134 11144 11222 ... Und die letzten wären: ... 23444 24444 33333 33334 33344 33444 34444 44444 Um diese Möglichkeiten zu zählen, bemerkt man, daß es nur darauf ankommt, wie häufig eine Augenzahl vorkommt. Man notiert daher der Reihe nach, wie oft die Augenzahl 1, die Augenzahl 2, die Augenzahl 3, die Augenzahl 4 vorkommen. Dann kann man die obigen Möglichkeiten in die neue Darstellung übersetzen. Das sieht folgendermaßen aus: 11111 5000 11112 4100 11113 4010 11114 4001 11122 3200 11123 3110 11124 3101 11133 3020 11134 3011 11144 3002 11222 2300 ... 23444 0113 24444 0104 33333 0050 33334 0041 33344 0032 33444 0023 34444 0014 44444 0005 Ein bekannter Trick hilft nun, die Möglichkeiten in der zweiten Darstellung zu zählen. Dazu stellt man sich vier Fächer vor, auf die man 5 Sterne () verteilt. Jede Augenzahl bekommt so viele Sterne, wie ihre Häufigkeit angibt. Für die vier Fächer braucht man drei Trennwände (\|). Auf diese Weise bekommt man die dritte Darstellung. Und so geht das: 11111 5000 **\|\|\| 11112 4100 *\|\|\| 11113 4010 ***\|\|\| 11114 4001 ***\|\|\| 11122 3200 *\|\|\| 11123 3110 **\|\|\| 11124 3101 *\|\|\|* 11133 3020 *\|\|\| 11134 3011 **\|\|\|* 11144 3002 *\|\|\| 11222 2300 \|\|\| ... 23444 0113 \|\|\|** 24444 0104 \|\|\|* 33333 0050 \|\|*\| 33334 0041 \|\|*\| 33344 0032 \|\|*\| 33444 0023 \|\|\|* 34444 0014 \|\|\|* 44444 0005 \|\|\|*** Um nun alle Möglichkeiten zu zählen, kann man die Zeichenreihen aus 5 Sternen und 3 Strichen zählen. Wie viele Möglichkeiten gibt es dann bei a)? Wie anfangs gesagt, es ist wichtig, ob in dieser Aufgabe die Tetraeder unterscheidbar sind oder nicht. Du solltest daher die Aufgabe genau lesen, ob du darüber Auskunft bekommen kannst.
19.06.2022, 19:05	Mia02	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Finn_, vielen Dank. Aber wenn man die Zahlen einsetzen, dann kommt ein viel zu niedriges Ergebnis heraus. Daher denke ich, dass die Formel nicht stimmen kann . Hi Leopold, die Würfeln sind auf jeden Fall unterscheidbar, das ist wie Ziehen mit Zurücklegen. Vielen Dank für deine ausführliche Antwort und den Hinweis . Zu b) habe ich folgendes heraus bekommt: 3^4(5!/4!) = 405 Möglichkeiten. 3^4: Ich stelle mir vor, dass die übrigen 4 Tetraeder die Augenzahl 1 nicht mehr haben (also nur noch 2; 3 und 4 als Ergebnis haben dürfen). Die Wiederholung der Augenzahlen von 2 bis 4 ist erlaubt und die Reihenfolge der übrigen 4 Tetraeder wird beachtet. (5!/4!): Die Reihenfolge der 4 Tetraeder mit den Augenzahlen von 2 bis 4 wurde zwar oben beachtet aber die Gesamt-Reihenfolge aller 5 Tetraeder muss noch berücksichtigt werden. Hierzu nehme ich an, dass die 4 Tetraeder mit den Augenzahlen von 2 bis 4 von nun an gleich sind (da deren Reihenfolge ja bereits beachtet worden ist) -> daher die 4! im Nenner. Zu c) ähnlich wie b) Resultat: 3^3(5!/3!) = 540 Möglichkeiten. Erscheint das für euch plausibel
19.06.2022, 19:07	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Schließlich lassen sich die beiden Sichtweisen monotoner Gitterweg und Stars and Bars noch ästhetisch verbinden: [attach]55446[/attach]
19.06.2022, 19:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Stars and Bars for ever. @ Mia02 Ich würde es etwas einfacher machen. Wahl des Tetraeders mit 1 als Augenzahl: 5 Möglichkeiten Möglichkeiten für die restlichen Tetraeder ohne 1 als Augenzahl: $\begin{align} 3^4 \end{align}$ Insgesamt gibt es $\begin{align} 5 \cdot 3^4 = 405 \end{align}$ Möglichkeiten. Oder mit einer Bernoulli-Kette. Der Erfolg ist "Tetraeder zeigt Augenzahl 1" mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align} \frac{1}{4} \end{align}$ , der Mißerfolg "Tetraeder zeigt nicht Augenzahl 1" mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align} \frac{3}{4} \end{align}$ . Mit $\begin{align} X \end{align}$ als der Anzahl der Erfolge gilt $\begin{align} P(X=1) = {5 \choose 1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^4 = 5 \cdot \frac{3^4}{4^5} \end{align}$ Das 5-fache Werfen des Tetraeders kann als Laplace-Raum mit $\begin{align} 4^5 \end{align}$ Elementen modelliert werden; siehe Aufgabe a). $\begin{align} \frac{k}{4^5} = P(X=1) = 5 \cdot \frac{3^4}{4^5} \end{align}$ Folge: $\begin{align} k = 5 \cdot 3^4 \end{align}$
19.06.2022, 20:26	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Deutung der Würfel als unterscheidbar Zu a). Die Anzahl aller 5-Tupel, wobei jeder Eintrag in {1, 2, 3, 4} sein darf, ist $\begin{eqnarray} 4^5, \end{eqnarray}$ klar. Schreiben wir sie (x, x, x, x, x) oder kurz xxxxx. Zu b). Einen Tetraeder auswählen, der die 1 bekommt. Dafür gibt es 5 Möglichkeiten, die da sind 1xxxx, x1xxx, xx1xx, xxx1x, xxxx1. Die restlichen Tetraeder bilden ein 4-Tupel mit Einträgen in {2, 3, 4}. Das macht $\begin{eqnarray} 5\cdot 3^4 = 405 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Zu c). Zwei Tetraeder auswählen, die die 1 bekommen. Dafür gibt es $\begin{eqnarray} \binom{5}{2} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten. Die restlichen Tetraeder bilden ein 3-Tupel mit Einträgen in {2, 3, 4}. Das macht $\begin{eqnarray} \binom{5}{2}\cdot 3^3 = 270 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten.
21.06.2022, 23:25	Mia02	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank an euch alle

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