Punktweise, gleichmäßige und Normkonvergenz

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Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise, gleichmäßige und Normkonvergenz
Hallo, den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz habe ich inzwischen kapiert. Bei der punktweisen Konvergenz einer Funktionenfolge f_k(x) hält man quasi immer ein x fest und guckt dann ob die Folge konvergiert. Allerdings verstehe ich den Unterschied von punktweiser und Normkonvergenz nicht. Wenn in der Aufgabenstellung steht,dass ich beweisen soll, dass eine Funktion bezüglich einer Norm konvergiert, meinen die dann punktweise konvergenz bezüglich eben dieser Norm oder noch ganz was andres? Ich blicke da überhaupt nicht durch. Eine Funktion kann doch auch punktweise bezüglich bestimmter Normen konvergieren oder? Und die punktweise konvergenz bezüglich der Supremumsnorm entspricht dann der gleichmäßigen Konvergenz? Danke für die Hilfe schonmal.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz bedeutet immer, dass es einen Grenzwert gibt, und dass eine Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert. Das heißt, dass für jedes ein existiert, so dass der Abstand für alle . Der Abstand ist dabei eine Metrik auf einem Raum.
Ist eine Norm auf einem Vektorraum, dann induziert diese vermöge eine Metrik auf dem normierten Vektorraum, und Normkonvergenz bedeutet Konvergenz bezüglich dieser durch die Norm induzierten Metrik .
Auf einem Raum kann es verschiedene Metriken geben, auf einem Vektorraum kann es verschiedene Normen geben, und jede dieser Normen induziert eine Metrik. Im Einzelfall muss man sehr genau darauf achten, was genau wie genau definiert ist.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punktweise, gleichmäßige und Normkonvergenz
Theoretisch könnte man beides meinen. In Praxis geht es um die Konvergenz von und das muss a priori nichts mit punktweise Konvergenz zu tun haben. Man hat eine Funktionsfolge und einen Konvergenzbegriff für Funktionsfolgen, das wars.

Normkonvergenz schränkt es ein, indem man sagt der Konvergenzbegriff wird durch eine (spezielle) Norm gegeben. Im Falle der Supremumsnorm dann gleichmäßige Konvergenz. Interessanterweise wird die punktweise Konvergenz NICHT durch eine Norm induziert.

Was ich oben mit theoretisch meinte, man könnte auch wenn mit normierten Raum meinen, dass für alle konvergiert. Aber selbst das sollte dann "punktweise bzgl. Norm" o.ä. bezeichnet werden.

Edit: Sorry Elvis, war eine Weile mit anderen Sachen beschäftigt. Deinen Post gar nicht gesehen Big Laugh
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punktweise, gleichmäßige und Normkonvergenz
Dankeschön. Ich habe das ganze mal versucht an dieser Aufgabe nachzuvollziehen. Also müsste ich für a) also zeigen, dass es kein k0 gilt sodass sup||f_k0(n)-f(n)||<= epsilon? und für b) dass es ein k0 gibt mit sup|(f_k0- f(n))/n|<= epsilon?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest bei a) streng genommen zeigen, dass für alle möglichen kein existiert. Nur weil ein kein Grenzwert ist, heißt es nicht, dass es nicht gegen eine andere Funktion konvergiert.

An der Stelle hat man aber Glück. Beide Normkonvergenzen implizieren die punktweise Konvergenz. D.h. wenn in den Normen konvergiert, konvergiert es punktweise gegen die gleiche Funktion . Der punktweise Grenzwert lässt sich hier leicht ermitteln und wenn man es in die Definition der Konvergenz einsetzt und die Definition der Norm anwendet, stehen praktisch beide Aussagen schon da.
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

aber die Normkonvergenz die punktweise impliziert, dann reicht es bei a) (wo ich zeigen muss, dass f_k(n) NICHT konvergiert) doch nicht zu zeigen, dass f_k(n) nicht punktweise konvergiert. Und bei b) verstehe ich auch nicht ganz, wie das dann funktioniert. Wenn ich die punktweise Konvergenz beweisen will, kann ich dann die Fälle n=k und n=/= k betrachten oder sowieso nur n=/=k weil k gegen unendlich läuft und dann sowieso ab einem Punkt größer als n ist? Danke für die Hilfe
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn nicht punktweise konvergieren würde, würde es nicht in beiden Normen konvergieren. Die Konvergenz in impliziert, dass es punktweise konvergieren muss.

Um den punktweise Grenzwert zu bestimmen, schauen wir uns mal paar Elemente an. Sei und wir gucken was macht.

, da
, da
, da
, da
, da
, da
, da
, da
Tatsache ist, für alle . Da geht, ist sicherlich irgendwann (sehr schnell) und damit ist für den Punkt . Damit haben wir die Konvergenz für einen Punkt. Überleg dir mal, was für andere Punkte oder passiert und verallgemeiner es, um den punktweisen Grenzwert zu bestimmen. Dann kann man mit der Normkonvergenz weiter machen.
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke, das hätte ich soweit verstanden. Dann ist f_k(n) mit der Norm aber nicht gleichmäßig konvergent, weil da n nicht "festgehalten" wird, und für n=k immer gilt: sup( f_k(k)/n) = sup(1/n) =1 ?
und warum implizieren in dieser Aufgabe beide Normen die punktweise Konvergenz?
a) habe ich auch immer noch nicht so ganz verstanden. Ich will ja zeigen, dass f_k(n) NICHT konvergiert. Ich muss also zeigen, dass für alle f gilt lim k-> unendlich sup|(f_k(n)-f(n)|> epsilon. Könnte ich das so machen: Ich betrachte als erstes n=k. Wenn f_k(n) konvergieren würde, dann folgt lim sup|f_k(k)-f(k)| = lim sup |1-f(k)| < epsilon. also muss f(k)=1 sein. jetz betrachte ich lim sup|f_(k+1)(k) -f(k)| = lim sup |0-1| = 1 > epsilon, also kann f_k(n) nicht konvergieren?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samsmile
ok danke, das hätte ich soweit verstanden. Dann ist f_k(n) mit der Norm aber nicht gleichmäßig konvergent, weil da n nicht "festgehalten" wird, und für n=k immer gilt: sup( f_k(k)/n) = sup(1/n) =1 ?

Es gilt . Ist es das was du meintest?
Zitat:
Original von Samsmile
und warum implizieren in dieser Aufgabe beide Normen die punktweise Konvergenz?

Für jedes gilt
.
D.h. wenn die Norm gegen 0 geht, geht also auch gegen 0 und die Konvergenz ist gezeigt. Bei der anderen ist ähnlich, bloss
.

Zitat:
Original von Samsmile
a) habe ich auch immer noch nicht so ganz verstanden. Ich will ja zeigen, dass f_k(n) NICHT konvergiert. Ich muss also zeigen, dass für alle f gilt lim k-> unendlich sup|(f_k(n)-f(n)|> epsilon.

Das könntest du machen. Es wird aber schwer zu zeigen, dass keine Wahl von treffen ist. Viel einfacher ist es hier den einen potentiell möglichen Grenzwert zu nehmen und diesen auszuschließen, anstatt versuchen alle auf einen Schlag auszuschließen.
Zitat:
Original von Samsmile
Könnte ich das so machen: Ich betrachte als erstes n=k. Wenn f_k(n) konvergieren würde, dann folgt lim sup|f_k(k)-f(k)| = lim sup |1-f(k)| < epsilon. also muss f(k)=1 sein.
jetz betrachte ich lim sup|f_(k+1)(k) -f(k)| = lim sup |0-1| = 1 > epsilon, also kann f_k(n) nicht konvergieren?

So kann man argumentieren, ja Freude

Die Idee mit dem punktweisen Grenzwert wäre dann: Offenbar ist und damit dann und damit
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte entschuldige die späte Antwort. Ich war leider krank.
Also den Beweis für b) habe ich immernoch nicht ganz verstanden. Zu zeigen ist ja lim k-> unendlich von sup(|f_k(n)/n -f(n)/n| < epsilon, richtig?
Was wird denn jetzt zuerst "ausgewertet", der limes oder die Norm? weil für k=n ist ja f_k(n) = 1 also lim k-> unendlich von sup(|1/n -f(n)/n|). Wird dann erst das Supremum gebildet und dann der Grenzwert?
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

So.. ich habe jetzt mal versucht meine Beweise aufzuschreiben. Ginge das so?
a) Angenommen f_k(n) wäre konvergent.
Betrachte lim k-> unendlich sup |f_k(n) -f(n)|. Da f_k(n) ab dem Indekt k= n immer null ist müsste die Grenzfunktion f(n)= 0 sein. =>
lim k-> unendlich sup |f_k(n)| >= |f_k(k)|= 1 > epsilon => nicht konvergent.
b) betrachte lim k-> unendlich sup |f_k(n)/n -f(n)/n|
Wieder muss die Grenzfunktion f(n) = 0 sein, also betrachte ich lim k-> unendlich sup |f_k(n)/n|
Nun liegt das Supremum von f_k(n) offenslichtlich bei k=n, also folgt
lim k-> unendlich |f_k(k)/k| = lim k-> unendlich |1/k| = 0
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so Freude
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Danke für deine Hilfe smile
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