Wesentliche Singularität

20.06.2022, 16:34	matehstudent17	Auf diesen Beitrag antworten »
Wesentliche Singularität Aufgabe: Bestimmen die Folgen $\begin{eqnarray} (z_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (w_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{z_n}{z_n+1}=n,\frac{w_n}{w_n+1}=-n \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N},n\ge N \end{eqnarray}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ .Folgern Sie anschließend, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\setminus \{-1\} \to \mathbb{C}, z \mapsto exp(\frac{z}{z+1}) \end{eqnarray}$ eine wesentliche Singularität in $\begin{eqnarray} z = -1 \end{eqnarray}$ hat. Lösung: Also eine wesentlichen Singularität ist definiert im Skript als : Satz von Casorati-Weierstrass: Die holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} f:U\setminus \{a\} \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ habe in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine isolierte Singularität. Gibt es Folgen $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w_n \in U \setminus \{a\} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} z_n=\lim_{n \to \infty} w_n =a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} z_n \neq \lim_{n \to \infty} w_n \end{eqnarray}$ so hat $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ eine wesentliche Singularität. Zu erst muss gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} z= -1 \end{eqnarray}$ eine isolierte Singularität für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ hat in $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ eine isolierte Singularität, wenn es eine punktierte Umgebung von $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ gibt, in der $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph ist,d.h es gibt ein $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} f\|_{K_r(-1)} \end{eqnarray}$ holomorph ist. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist holomorph $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow f \end{eqnarray}$ ist komplex diffbar in $\begin{eqnarray} z_0=-1 \end{eqnarray}$ in einer Umgebung $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \Leftrightarrow \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \end{eqnarray}$ existiert. das heißt $\begin{eqnarray} \lim_{z \to -1} \frac{f(z)-f(-1)}{z-(-1)}=0 \end{eqnarray}$ (ist so richtig?) Das darf doch eigentlich nicht null sein oder? Des weiteren habe ich für $\begin{eqnarray} w_n = -\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ ,die die beiden obigen Bedingungen erfüllt, habt ihr für $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ eine Idee? Danke für eure Hilfe!
20.06.2022, 18:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Zeige, dass $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ eine isolierte Singularität von f ist. Du darfst nicht $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ in die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ einsetzen, weil $\begin{eqnarray} \frac z {z+1} \end{eqnarray}$ und also auch $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dort nicht definiert sind. 2. Gib Folgen $\begin{eqnarray} (z_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (w_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} lim_{n\to \infty}z_n=lim_{n\to \infty}w_n=-1,lim_{n\to \infty}\frac {z_n}{z_n+1}=n,lim_{n\to \infty}\frac {w_n}{w_n+1}=-n \end{eqnarray}$ an. Das erste hast du noch nicht getan. Tipp: Löse $\begin{eqnarray} \frac {z_n}{z_n+1}=n \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z_n \end{eqnarray}$ auf, wie du es offenbar auch bei $\begin{eqnarray} (w_n) \end{eqnarray}$ getan hast. 3. Berechne $\begin{eqnarray} lim\,f(z_n),lim\,f(w_n) \end{eqnarray}$ , was ja kein Pronblem ist, und dann hast du bewiesen, dass $\begin{eqnarray} z=-1 \end{eqnarray}$ eine wesentliche Singularität ist. (Im Casorati Weierstraß hast du einen wesentlichen Fehler, die Grenzwerte der Funktionswerte sind verschieden, die Grenzwerte der Folgen selbst sind gleich.)

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