Ähnlichkeit ohne Eigenwerte

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lavado Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeit ohne Eigenwerte
Meine Frage:
Man soll entscheiden, ob zwei 4x4-Matrizen über den reellen Zahlen zueinander ähnlich sind.

Die beiden Matrizen haben zwar dasselbe charakteristische Polynom, jedoch zerfällt es nicht in Linearfaktoren, sodass die Matrizen keine Eigenwerte haben.


Meine Ideen:
Meine Idee wäre, dass sie nicht ähnlich sind, denn zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn ihre JNF übereinstimmen. In diesem Fall gibt es aber keine JNF.
Meine Frage nun: Liege ich bei meiner Idee richtig und sind die Matrizen somit nicht ähnlich?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lavado
jedoch zerfällt es nicht in Linearfaktoren, sodass die Matrizen keine Eigenwerte haben.

Keine REELLEN Eigenwerte womöglich, aber gewiss komplexe Eigenwerte und damit auch komplexe JNF.

Mit der JNF muss man sich aber allenfalls dann rumplagen, wenn man nur ein Paar konjugiert komplexe Eigenwerte hat, die jeweils algebraische Vielfachheit 2 haben - ist das nicht der Fall, so ist Diagonalisierung automatisch gegeben und damit auch Ähnlichkeit beider Matrizen.

Zitat:
Original von lavado
Liege ich bei meiner Idee richtig und sind die Matrizen somit nicht ähnlich?

Nach dieser Idee müssten auch beide Matrizen jeweils ZU SICH SELBST nicht ähnlich sein, was offensichtlich Unsinn ist.
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