Kovariante Ableitung über Vektorfelder

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Kovariante Ableitung über Vektorfelder
Moin, ich kann an einer Stelle meinem Skript nicht wirklich folgen, da plötzlich neue Notation verwendet wird. Hierzu muss ich zunächst die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes aus dem Skript notieren:

Gegeben eine reguläre Kurve c(t):I -> M mit Untermannigfaltigkeit M des R^n. v sei ein differenzierbares Vektorfeld längs c, d.h. jedem c(t) ist ein v(t) aus dem Tangentialraum zugeordnet. Dann heißt
die kovariante Ableitung von v.
Hierbei ist die orthogonale Projekt auf dem Tangentialraum.

Nun wird die gerichtete kovariante Ableitung defniert als
mit Tangentialvektor w_p, und Kurve c:I->M mit c(0) = p, c'(0) = w_p.

Darauf aufbauend wird dann der Ausdruck
definiert, wobei nun v, w Vektorfelder auf M sind.

Nun meine Frage:
Etwas weiter notiert mein Skript die Rechnung [sic!]
wobei Vektorfelder sind.
Erste Frage: Dz ist die Jacobimatrix, oder? Mein Skript führt das große D nirgends ein.
Nächste Frage: Wieso sollte diese Gleichheit gelten? Wenn ich nach Definition aufdrösele erhalte ich

mit regulärer Kurve c(t) mit und c(0) = p. Es folgt weiter

, wobei die Jacobimatrix von z in p ist. Im Skript ist aus irgendeinem Grund offenbar die orthogonale Projektion verschwunden. Wieso sollte zwingend gelten?

Liegt es daran, dass offen ist? Dann könnte ich in der Tat Kurven durch p legen, so dass .

Ich hoffe es nimmt es jemand auf sich diesen Wust hier zu lesen und könnte mir helfen, das wäre super smile
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das sollte die Begründung sein. Wenn offen ist, gilt an jedem Punkt Die Mannigfaltigkeit ist in diesem Fall flach, der Vektor daher bereits im Tangentialraum befindlich, die Projektion somit wirkungslos.

In Worten ausdrückt soll die Aussage wohl lauten, dass die kovariante Ableitung im flachen Raum mit der Richtungsableitung koinzidiert.
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!
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