Faktorring mit p Elementen

21.06.2022, 20:40	lukas23	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorring mit p Elementen Meine Frage: Sei p ? Z eine Primzahl, die auch Primelement im Ring der Gaußschen Zahlen R:= Z[i] ist. Zeigen Sie, dass der Faktorring R/pR ein Körper mit p²Elementen ist Meine Ideen: wenn p ein element ist dann müsste p^2 doch auch ein elemtent sein passt die idee
21.06.2022, 22:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist ohne jede Substanz. Das klingt nicht nach genügendem Nachdenken über das Problem. Ich weiß daher nicht, ob meine folgenden Bemühungen irgendeinen Nutzen für dich haben. Sie haben aber einen Nutzen für mich, da ich über diese interessante Sache nachdenken mußte. Es ist daher zugegebenermaßen kein reiner Altruismus, wenn ich hier etwas dazu niederschreibe. Die Elemente des Faktorrings dürften die Restklassen $\begin{align} a + \operatorname{i}b + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \, ; \ \ a,b \in \mathbb{Z} \ \ \text{mit} \ \ 0 \leq a < p \, , \ 0 \leq b < p \end{align}$ sein. Formal sind das jedenfalls $\begin{align} p \cdot p = p^2 \end{align}$ Restklassen. Jetzt müßtest du belegen, daß die alle verschieden sind und jede weitere Restklasse unter diesen bereits vertreten ist. Dann ist das Mächtigkeitsargument erledigt. Dann wäre noch die Aufgabe zu begründen, warum jede Restklasse $\begin{align} \neq p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ eine multiplikativ inverse Restklasse besitzt. Man geht daher aus von einer Restklasse $\begin{align} a + \operatorname{i}b + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \neq p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ und sucht eine Restklasse $\begin{align} x + \operatorname{i}y + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ mit $\begin{align} \left( a + \operatorname{i}b + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \right) \cdot \left( x + \operatorname{i}y + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \right) = 1 + p \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ Auf ganze Zahlen umgeschrieben läßt sich das Problem zurückführen auf das folgende System von Kongruenzen modulo $\begin{align} p \end{align}$ : $\begin{align} ax - by \equiv 1 \bmod{p} \end{align}$ $\begin{align} bx + ay \equiv 0 \bmod{p} \end{align}$ Hier sind die ganzen Zahlen $\begin{align} a,b \end{align}$ gegeben, nicht beide zugleich $\begin{align} \equiv 0 \bmod{p} \end{align}$ und ganze Zahlen $\begin{align} x,y \end{align}$ gesucht. Man kann das System auch gleich als ein lineares Gleichungssystem über $\begin{align} \mathbb{Z}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} \end{align}$ , dem Körper der ganzen Zahlen modulo $\begin{align} p \end{align}$ auffassen. Jetzt sind $\begin{align} a,b \in \mathbb{Z}_p \end{align}$ gegeben und $\begin{align} x,y \in \mathbb{Z}_p \end{align}$ gesucht, so daß $\begin{align} ax - by = 1 \end{align}$ $\begin{align} bx + ay = 0 \end{align}$ gilt. Da $\begin{align} \mathbb{Z}_p \end{align}$ ein Körper ist, kann man die ganze Macht der Lehre der linearen Gleichungssysteme über Körpern einsetzen, um die eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems zu begründen. Dabei kommt zum Tragen, daß $\begin{align} p \end{align}$ nach Voraussetzung auch in $\begin{align} \mathbb{Z}[\operatorname{i}] \end{align}$ unzerlegbar ist. Die Primzahl $\begin{align} p=13 \end{align}$ wäre zum Beispiel nicht erlaubt, da $\begin{align} 13 = \left( 2 + 3 \operatorname{i} \right) \left( 2 - 3 \operatorname{i} \right) \end{align}$ gilt.

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