Wieviel Geld bekommt der Bruder?

22.06.2022, 17:15

laila49

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Wieviel Geld bekommt der Bruder?

Zwei Schwestern haben jahrelang Vasen gesammelt.
Jetzt wollen sie sich von der Sammlung trennen und verkaufen die Sammlung komplett.

Alle Vasen werden zum gleichen Preis verkauft, und zwar zu einem glatten Euro-Betrag.
Dieser Betrag entspricht zufällig genau der Anzahl der verkauften Vasen.

Nun teilen die Schwestern den Erlös:
Die erste Schwester erhält 10 €, dann erhält die zweite Schwester 10 €, dann wieder die erste, dann wieder die zweite. Nachdem die erste Schwester zum letzten Mal 10 € erhalten hat, bleibt noch ein Rest, der kleiner als 10 € ist.

Diesen Rest schenken sie ihrem kleinen Bruder.

Wie viel hat der Bruder bekommen?

22.06.2022, 21:57

Leopold

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Das klingt eher nach einem Fall für die Rätselecke (für Schüler) als nach einer Anfrage, weil laila49 die Lösung nicht kennt. Sollte ersteres der Fall sein, wäre es besser, hier zunächst mal nicht oder zumindest nicht wesentlich zu helfen, bis eine angemessene Zeit (eine Woche?) verstrichen ist. Sollte bis dahin kein Schüler Interesse gezeigt haben, kann man für die Nachwelt dann die Lösung hier hinterlassen.
Das wäre jedenfalls mein Vorschlag.

22.06.2022, 22:27

HAL 9000

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Gewisse Parallelen zu dieser Aufgabe sind nicht von der Hand zu weisen, insbesondere was die Betrachtung der möglichen quadratischen Reste modulo 20 betrifft.

23.06.2022, 08:03

laila49

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Zitat:

Original von Leopold
Das klingt eher nach einem Fall für die Rätselecke (für Schüler) als nach einer Anfrage, weil laila49 die Lösung nicht kennt. Sollte ersteres der Fall sein, wäre es besser, hier zunächst mal nicht oder zumindest nicht wesentlich zu helfen, bis eine angemessene Zeit (eine Woche?) verstrichen ist. Sollte bis dahin kein Schüler Interesse gezeigt haben, kann man für die Nachwelt dann die Lösung hier hinterlassen.
Das wäre jedenfalls mein Vorschlag.

Hallo Leopold,

ich kennen natürlich die Lösung.Deshalb hatte ich es ja unter "Rätsel" gestellt. Ich habe das Rätsel irgendwo gefunden und fand es schön,
Dass ein ähnliches schon mal gepostet wurde, war mir leider nicht bekannt.

23.06.2022, 12:23

Luftikus

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RE: Wieviel Geld bekommt der Bruder?

Zitat:

Original von laila49
Alle Vasen werden zum gleichen Preis verkauft, und zwar zu einem glatten Euro-Betrag.
Dieser Betrag entspricht zufällig genau der Anzahl der verkauften Vasen.

Also n Vasen zu n €, also insgesamit n^2 €

Zitat:

Nun teilen die Schwestern den Erlös:
Die erste Schwester erhält 10 €, dann erhält die zweite Schwester 10 €, dann wieder die erste, dann wieder die zweite. Nachdem die erste Schwester zum letzten Mal 10 € erhalten hat, bleibt noch ein Rest, der kleiner als 10 € ist.

Also wurden schon an die Schwestern ausgezahlt:

(10+10)+(10+10)+10 € = 50€
Rest < 10€

Zitat:

Diesen Rest schenken sie ihrem kleinen Bruder.
Wie viel hat der Bruder bekommen?

also müsste sein

50 < n^2 < 60

???

23.06.2022, 12:30

IfindU

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RE: Wieviel Geld bekommt der Bruder?
@Luftikus: Ich glaube da fehlt im Text so etwas wie "und das machen sie solange weiter bis das Geld so aufgeteilt ist". Ich denke nicht, dass man sich hier auf 3 Runden beschränken soll/muss. D.h. auch die Anzahl der Runden ist eingeschränkt auf etwas, wo die Situation auch stattfinden kann.

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23.06.2022, 12:35

Luftikus

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RE: Wieviel Geld bekommt der Bruder?

Zitat:

Original von IfindU
@Luftikus: Ich glaube da fehlt im Text so etwas wie "und das machen sie solange weiter bis das Geld so aufgeteilt ist". Ich denke nicht, dass man sich hier auf 3 Runden beschränken soll/muss. D.h. auch die Anzahl der Runden ist eingeschränkt auf etwas, wo die Situation auch stattfinden kann.

Achso, danke für diesen Hinweis. Dann verstehe ich auch den Beitrag von Hal9000 smile

smile

Aufgaben sollten immer korrekt gestellt sein, vorallem in Mathe!

23.06.2022, 13:32

Luftikus

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Die Fragen, die sich jetzt aber stellen sind:
1. Wieso bekommt die 1. Schwester 10€ mehr?
2. Wieso gibt die erste Schwester dem Bruder nicht 4% ihres Gewinns ab, so dass er wenigstens 10€ bekommt?

Komische Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gibt da auch Aufgaben eines bekannten russischen Mathematikers, die er für Kinder ab 5 Jahren gestellt hat:

"Masha fehlen sieben Kopeken, um ein Lesebuch zu kaufen, Misha
fehlt eine Kopeke. Auch wenn sie ihr Geld zusammenlegen, um das
Buch gemeinsam zu kaufen, fehlt ihnen immer noch Geld. Wie viel
kostet das Buch?"

23.06.2022, 13:42

IfindU

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Zitat:

"Masha fehlen sieben Kopeken, um ein Lesebuch zu kaufen, Misha
fehlt eine Kopeke. Auch wenn sie ihr Geld zusammenlegen, um das
Buch gemeinsam zu kaufen, fehlt ihnen immer noch Geld. Wie viel
kostet das Buch?"

Schöne Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Ich nehme an Kopeken kann man nicht "unterteilen" und es gibt immer natürlich viele davon, richtig?

23.06.2022, 13:46

Luftikus

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Zitat:

Original von IfindU

Zitat:

"Masha fehlen sieben Kopeken, um ein Lesebuch zu kaufen, Misha
fehlt eine Kopeke. Auch wenn sie ihr Geld zusammenlegen, um das
Buch gemeinsam zu kaufen, fehlt ihnen immer noch Geld. Wie viel
kostet das Buch?"

Schöne Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Ich nehme an Kopeken kann man nicht "unterteilen" und es gibt immer natürlich viele davon, richtig?

Jaja, ist schon richtig..
Man merkt, du bist älter als 5 smile

smile

23.06.2022, 17:36

klauss

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RE: Wieviel Geld bekommt der Bruder?
Ist die Aufgabe nun noch zu lösen oder nicht?

Die Formulierung

Zitat:

Nachdem die erste Schwester zum letzten Mal 10 € erhalten hat, ...

ist gar nicht unklar, sondern dürfte ja wohl die entscheidende Bedingung enthalten, dass ein ungeradzahliges Vielfaches von 10 aus dem Erlös aufgeteilt wird, bevor der Bruder bedient wird.
Möge jemand kurz sauber zeigen, dass dann unabhängig von der Anzahl der Vasen immer die (entfernte) Lösung von Elvis rauskommt.

23.06.2022, 17:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von IfindU
Schöne Aufgabe Big Laugh

Big Laugh

Ich nehme an Kopeken kann man nicht "unterteilen"

Daher kann man die Aufgabe auch nicht so einfach auf die aktuelle Inflation hochskalieren (ich schätze mal, 1 Kopeke dieser Aufgabe entspricht aktuell ca. 100 Rubel - und auch da wäre es ein sehr preiswertes Buch). smile

smile

@klauss

Von welcher Elvis-Lösung sprichst du? Erstaunt1

Erstaunt1

23.06.2022, 17:56

klauss

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Zitat:

Original von HAL 9000
Von welcher Elvis-Lösung sprichst du? Erstaunt1

Erstaunt1

Elvis hatte gestern (ohne Rechenweg) den Geldbetrag für den Bruder genannt.
Dieser Beitrag war allerdings (auch für mich überraschend) heute früh spurlos verschwunden.

23.06.2022, 18:01

HAL 9000

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Was das "kurze saubere" Zeigen betrifft, scheint dir meine Darlegung im verlinkten Thread zu lang zu sein - sauber ist sie allemal. Müsste natürlich auf die hier anders verpackte Aufgabe umgeschrieben werden, aber der Kern ist ja derselbe.

23.06.2022, 19:14

Huggy

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RE: Wieviel Geld bekommt der Bruder?

Zitat:

Original von klauss
Möge jemand kurz sauber zeigen, dass dann unabhängig von der Anzahl der Vasen immer die (entfernte) Lösung von Elvis rauskommt.

Es erfolgt eine Reihe von 20 Euro Zahlungen, dann eine 10 Euro Zahlung, dann eine Zahlung $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} < 10 \end{eqnarray*}$ Euro. Sei

$\begin{eqnarray*} n=10m+x \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} m \in\{0,1,2, \ldots \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \{0,1, \dots,9 \} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} n^2=100 m+20 m x+ x^2 \end{eqnarray*}$

Aus den ersten beiden Summanden rechts erfolgen 20 Euro Zahlungen. Aus $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ können eventuell auch noch 20 Euro Zahlungen erfolgen.

$\begin{eqnarray*} x=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ Dann reicht $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ reicht nicht für eine 10 Euro Zahlung.
$\begin{eqnarray*} x=4\quad x^2=10+6 \end{eqnarray*}$ Passt.
$\begin{eqnarray*} x=5\quad x^2=20+5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=6\quad x^2=20+10+6 \end{eqnarray*}$ Passt.
$\begin{eqnarray*} x=7\quad x^2=2 \cdot 20+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=8\quad x^2=3 \cdot 20+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=9\quad x^2=4 \cdot 20+1 \end{eqnarray*}$

23.06.2022, 19:21

Elvis

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Hier ist die "Herleitung" der "Elvis-Lösung" von gestern. Ich habe ganz stumpf mit EXCEL gerechnet von $\begin{eqnarray*} n=1,...,42 \end{eqnarray*}$ ( Big Laugh

Big Laugh

), wobei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ = Anzahl der Vasen ist. Dabei komme ich auf $\begin{eqnarray*} y=6 \end{eqnarray*}$ Euro für den Bruder. Dieses Verfahren heißt "unvollständige Induktion", denn ich schließe von $\begin{eqnarray*} n=1,...,42 \end{eqnarray*}$ leichtfertig auf $\begin{eqnarray*} n=1,...,\infty \end{eqnarray*}$ .

23.06.2022, 19:24

Huggy

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Wie du aus meinem Beitrag siehst, geht es auch ganz ohne Induktion.

23.06.2022, 20:18

Leopold

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Das Wechselspiel der beiden Schwestern geht so lange weiter, bis schließlich nach der letzten Wegnahme von 10 € durch die zweite Schwester 20 € Restsumme unterschritten sind. Nach Aufgabenstellung kann die erste Schwester noch einmal 10 € abheben. Das geht nur, wenn die Restsumme mindestens 10 € beträgt.

Wenn einem nichts Besseres einfällt, kann man alle Reste von $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ modulo 20 in Abhängigkeit von $\begin{align*} n \end{align*}$ bestimmen. Wenn man die Quadratzahlen von $\begin{align*} 0^2 \end{align*}$ bis $\begin{align*} 19^2 \end{align*}$ auswendig kennt, geht das sogar im Kopf. Modulo 20 erhält man die folgende Tabelle:

$\begin{align*} \begin{matrix} n \equiv & & n^2 \equiv \\ 0,10 & & 0 \\ 1,9,11,19 & & 1 \\ 2,8,12,18 & & 4 \\ 3,7,13,17 & & 9 \\ 4,6,14,16 & & 16 \\ 5,15 & & 5 \end{matrix} \end{align*}$

Und man erkennt, daß es nur einen Rest größer als 10 gibt, nämlich 16. Von den 16 € nimmt dann die erste Schwester noch einmal 10 € weg, die verbleibenden 6 € bekommt der Bruder.

23.06.2022, 21:12

laila49

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Zitat:

Original von Leopold

Wenn einem nichts Besseres einfällt, kann man alle Reste von $\begin{align*} n^2 \end{align*}$ modulo 20 in Abhängigkeit von $\begin{align*} n \end{align*}$ bestimmen. Wenn man die Quadratzahlen von $\begin{align*} 0^2 \end{align*}$ bis $\begin{align*} 19^2 \end{align*}$ auswendig kennt, geht das sogar im Kopf. Modulo 20 erhält man die folgende Tabelle:

Und man erkennt, daß es nur einen Rest größer als 10 gibt, nämlich 16. Von den 16 € nimmt dann die erste Schwester noch einmal 10 € weg, die verbleibenden 6 € bekommt der Bruder.

Er reicht sogar, die Quadratzahlen bis 9 im Kopf zu haben,
da ja (10+a)² mod 20 = a² mod 20

23.06.2022, 22:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von laila49
Er reicht sogar, die Quadratzahlen bis 9 im Kopf zu haben,
da ja (10+a)² mod 20 = a² mod 20

Eigentlich reicht sogar bis 5, wegen $\begin{eqnarray*} (10\pm a)^2\equiv a^2\bmod 20 \end{eqnarray*}$ .

23.06.2022, 23:24

Leopold

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@laila49/HAL 9000

[attach]55462[/attach]

Das sieht man auch schön an der Liste.

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