Symmetrie nach Rücktrafo

25.06.2022, 12:33

milchreiser

Symmetrie nach Rücktrafo

Hallo Matheboardnutzer

Angenommen es geht um einen Korrelationskoeffizienten von r=0,856 und eine Stichprobenanzahl von n=10.

Nun möchte ich via Fisher-Transformation ein Konfidenzintervall für r für das Niveau a=0,05 bestimmen.

Ich erhalte als transfomierten Korrelationswert $\begin{eqnarray*} r_t=\frac{1}{2} \cdot ln(\frac{1+0.856}{1-0.856}) \approx 1.278 \end{eqnarray*}$ und für diesen Wert zunächst das Konfidenzintervall :
$\begin{eqnarray*} I_t=[1.278-1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{10-3}} \ ~ ; \ ~ 1.278+1.96 \cdot \frac{1}{\sqrt{10-3}}] \end{eqnarray*}$ oder ausgerechnet $\begin{eqnarray*} I_t=[0.537 \ ~ ; \ ~ 2.019] \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ist die Symmetrie zu $\begin{eqnarray*} r_t \end{eqnarray*}$ noch erhalten.

Wenn ich die Transformation jetzt aber rückgängig mache, dann führt das zu :

$\begin{eqnarray*} I=[\frac{e^{2 \cdot 0.537}-1}{e^{2 \cdot 0.537}+1} \ ~ ; \ ~ \frac{e^{2 \cdot 2.019}-1}{e^{2 \cdot 2.019}+1}] \end{eqnarray*}$ oder ausgerechnet $\begin{eqnarray*} I=[0.491 \ ~ ; \ ~ 0.965] \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist nun die Symmetrie zu r=0,856 leider komplett kaputt gegangen.

Warum das so sein könnte, da habe ich bisher zwei Ideen im Kopf :

1) Fehlerfortpflanzung durch Mehrfachrunden
2) Die Eignung des Transformationsfaktors $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n-3}} \end{eqnarray*}$ nur für hinreichend große Stichproben

Ich habe Idee 2 mal für n=100 und n=1000 getestet und tatsächlich wurde das Konfidenzintervall nach den Rücktrafo zumindest annähernd symmetrisch zu r.

Ich bin mir allerdings nicht sicher, ob das wirklich nur daran liegt oder ob ich noch etwas übersehe verwirrt

Mir ist bewusst, dass das eigentlich eine Aufgabe aus der Statistik ist.
Im Kern geht es aber um Zusammenhänge aus der Analysis, daher habe ich es mal hier gepostet.

Kann mir jemand weiterhelfen ?

25.06.2022, 15:55

Huggy

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RE: Symmetrie nach Rücktrafo

Zitat:

Original von milchreiser
Wie man sieht, ist nun die Symmetrie zu r=0,856 leider komplett kaputt gegangen.

Das muss auch so sein. Es liegt einfach daran, dass die Transformation nichtlinear ist. Die transformierte Größe ist näherungsweise normalverteilt und ergibt daher ein symmetrisches Konfidenzintervall. Durch die nichtlineare Rücktransformation wird das asymmetrisch. Die Asymmetrie wird um so stärker, je näher $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ liegt. Bei kleinem $\begin{eqnarray*} |r| \end{eqnarray*}$ ist die Transformation näherungsweise linear und dann bleibt die Symmetrie bei der Rücktransformation näherungsweise erhalten. Von der Asymmetrie merkt man auch weniger, wenn die Grenzen des Konfidenzintervalls näher beisammen liegen, also bei größerem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Würde man das Konfidenzintervall ohne Hin- und Rücktransformation exakt berechnen - was allerdings recht schwierig zu sein scheint -, würde man bei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in der Nähe von $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ auch stark asymmetrische Konfidenzintervalle bekommen, weil die Verteilung von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ asymmetrisch ist.

25.06.2022, 19:51

milchreiser

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Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen. Wink

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