Maximale Korrelation in Vierfeldertafel

25.06.2022, 21:07

dunkelheit

Maximale Korrelation in Vierfeldertafel

Hallo Matheboardnutzer

Ich habe für die sich im Anhang befindende Tafel den Phi-Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{85 \cdot 134 - 116 \cdot 112}{\sqrt{201 \cdot 246 \cdot 250 \cdot 197}} \approx -0.032463 \end{eqnarray*}$ ermittelt, was für einen negativen (und recht schwachen) Zusammenhang spricht.

Nun ist es ja bei gleicher Randverteilung möglich, den maximal möglichen Wert für den Koeffizienten zu bestimmen.

Mit der entsprechenden Formel kam ich auf $\begin{eqnarray*} \Phi_{max}=max(-\sqrt{\frac{197 \cdot 201}{250 \cdot 246}} \ ~ ; \ ~ -\sqrt{\frac{250 \cdot 246}{197 \cdot 201}})=max(-0.802 \ ~ ; \ ~ -1.246)=-0.802 \end{eqnarray*}$

Die dazu passende "innere" Verteilung der Tafel, mit welcher man auf diese Korrelation kommt, habe ich ebenso im Anhang gesendet.

Meine Begründung dafür wäre, dass man die größtmögliche, negative Differenz (Zähler im Phi-Koeffizienten) dadurch erzeugen kann, indem man dafür sorgt, dass in der Hauptdiagonalen eine Null auftaucht.
Die Null bei "Nichtraucher und weiblich" zu machen, führt zu Widersprüchen bzgl. der konstanten Randsummen bzw. zu negativen Häufigkeiten.
Daher blieb nur die Möglichkeit die Null bei "Raucher und männlich" zu platzieren und siehe da, dadurch entsteht in der Tat eine negative Korrelation von -0,802.

Nun klingen meine Erklärungen etwas schwammig. Kann da jemand etwas fundierter werden und mir klar machen, wie die Taktik beim Aufstellen einer Kontingenztafel passend zu $\begin{eqnarray*} \Phi_{max} \end{eqnarray*}$ bei gleichbleibender Randverteilung aussieht ?

26.06.2022, 10:42

Huggy

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RE: Maximale Korrelation in Vierfeldertafel

Zitat:

Original von dunkelheit
Meine Begründung dafür wäre, dass man die größtmögliche, negative Differenz (Zähler im Phi-Koeffizienten) dadurch erzeugen kann, indem man dafür sorgt, dass in der Hauptdiagonalen eine Null auftaucht.

Weshalb nur in der Hauptdiagonalen? Setz mal die die Zahl der männlichen Nichtraucher auf Null.

26.06.2022, 11:10

dunkelheit

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Würde ich das tun, dann bekäme man ja im Zähler der Phi-Berechnung 197*246-0 > 0, wodurch der gewünschte negative Korrelationswert von - 0,802 nicht entstehen kann.

Oder verstehe ich da irgendwas falsch ? verwirrt

26.06.2022, 11:13

Huggy

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Mir war nicht klar, dass du nur negative Korrelationskoeffizienten betrachten willst.

26.06.2022, 11:56

dunkelheit

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Kein Problem, hätte ich vielleicht noch deutlicher erwähnen können.

Passt denn generell der Grundgedanke, dass wenn ich die betragsmäßig größten Korrelationen $\begin{eqnarray*} \Phi_{max} \end{eqnarray*}$ bei konstanten Randsummen erreichen möchte, man zwingend an einer geeigneten Stelle in den inneren 4 Feldern (mit den Häufigkeiten a,b,c und d) eine Null platzieren muss, damit entweder das Produkt $\begin{eqnarray*} a \cdot d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b \cdot c \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \Phi=\frac{a \cdot d - b \cdot c}{\sqrt{Randsummenprodukt}} \end{eqnarray*}$ maximal wird (a und d bzw. b und c nehmen dadurch automatisch die maximal möglichen Randsummen an) oder ist das zu primitiv gedacht ?

26.06.2022, 13:31

Huggy

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Der Korrelationskoeffizient wird betragsmäßig maximal, wenn man eine Kategorie (z. B. Raucher/Nichtraucher) möglichst extrem auf die andere Kategorie (männlich/weiblich) aufteilt. Dabei taucht immer irgendwo eine Null auf.

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