Extremstellen in 3D |
| 26.06.2022, 17:59 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremstellen in 3D Bestimmen und klassifizieren Sie alle fünf kritischen Punkte der Funktion Hinweis: 2. Das einfachste Verfahren zur Bestimmung aller Nullstellen eines kubischen Polynoms besteht im Raten einer Nullstelle, anschließender Polynomdivision und l¨osen einer quadratischen Gleichung Meine Ideen: Bei der letzten Aufgabe mit 2 Variablen habe ich das gut hinbekommen, hier habe ich auch Gradienten und Hessematrix bestimmt und eine Nullstelle (1,1,1) erraten, stehe aber irgendwie auf dem Schlauch wie ich die Nullstellen ausrechnen soll. Der gegebene Hinweis verwirrt mich auch, wie soll ich hier Polynomdivision anwenden? Bei den Ableitungen ist der grad ja schon 1 |
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| 26.06.2022, 18:23 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den Hinweis verstehe ich auch nicht. Die Komponenten des Gradienten von sind quadratische Funktionen. Das Nullsetzen des Gradienten führt daher auf ein quadratisches Gleichungssystem in drei Gleichungen und drei Unbekannten. Glücklicherweise ist es sehr übersichtlich und zyklisch. Man kann es durch Auflösen und Einsetzen vereinfachen und findet damit die fünf Lösungen. |
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| 26.06.2022, 18:49 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sind die Komponenten des Gradienten quadratische Funktionen? Ich habe das lgs hier komme ich halt leider auch nicht weiter da Additionsverfahren und einsetzen keine brauchbaren Ergebnisse für mich liefert |
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| 26.06.2022, 18:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das sind quadratische Polynome. Bei Polynomen in mehreren Variablen muß man in den Produkten aus den Variablen die Exponenten addieren. Die höchste dabei auftretende Exponentensumme ist der Grad des Polynoms. Löse deine erste Gleichung nach auf und setze das in die beiden anderen Gleichungen ein. So bekommst du ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen in den Unbekannten . Es läßt sich mit ein paar Fallunterscheidungen lösen. Beachte, daß in allen Fällen die Probe zu machen ist, ob die gefundenen Tripel nicht etwa nur Scheinlösungen sind. |
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| 26.06.2022, 19:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Hinweis dürfte sich auf die Untersuchung der Hessematrix bezüglich Definitheit beziehen. Wenn man das über die Eigenwerte macht, ergeben sich bei einer 3x3-Matrix Gleichungen 3. Grades. |
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| 26.06.2022, 19:44 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok danke dir schon mal für deine Hilfe, dachte zuerst das einsetzen bringt nichts. Dadurch habe ich für x2 und x3 jeweils +-1 raus und damit insgesamt die kritischen Stellen (1,1,1) (-1,-1,1) (-1,1,-1) (1,-1,-1) und (0,0,0) raus (was man denke ich mir gerade auch einfach hätte sehen können) Jetzt muss ich ja einfach nur noch meine Hessematrix benutzen |
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| 26.06.2022, 19:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die kritischen Stellen stimmen. |
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| 26.06.2022, 20:49 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok ich bräuchte nochmal Hilfe, (0,0,0) ist ja kein Problem da wir eine Diagonalmatrix bekommen Bei den anderen Punkten habe ich jedoch am ende das Polynom raus, wofür ich und bekomme da nun Eigenwerte = 0 bzw. det Hess = 0 haben wir ja entartete Stellen Diesen Fall haben wir leider nie geübt und ich weiß nur, dass man dann durch Betrachtung höherer Ableitungen o.Ä. weiterkommt, nur habe ich keine Ahnung wie ich da genau vorgehen muss |
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| 26.06.2022, 21:34 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei mir ist es . |
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| 26.06.2022, 22:02 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie bist du darauf gekommen? War mein Polynom schon falsch? Mit deiner Faktorisierung hätten wir dann ja einen Sattelpunkt in jedem der anderen Punkte, da wir bei (1,1,1) (-1,-1,1) (-1,1,-1) (1,-1,-1) die gleiche Determinanten-Gleichung bekommen. (Wenn mich jetzt nicht alles täuscht) Wenn ich jetzt noch auf deine Faktorisierung komme ist mein Abend gerettet |
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| 26.06.2022, 22:22 | Sunv2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mir fällt gerade auf dass ich einen Vorzeichenfehler in meiner Hessematrix habe das könnte natürlich der Ursprung des ganzen sein |
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