Bewegung ist entweder Drehung oder Spiegelung

27.06.2022, 10:00

Malcang

Bewegung ist entweder Drehung oder Spiegelung

Hallo mal wieder Wink

ich beiße mir siet einiger Zeit die Zähne an dieser Aufgabe aus:
[attach]55478[/attach]

Wir haben auf dem ersten Blatt festgestellt, dass für eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2+c^2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Der letzte Teil ist ja gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray*} |\det(U)| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich, dass eine Bewegung $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ die den Ursprung festhält, eine lineare, orthogonle Abbildung ist. Also gilt ja $\begin{eqnarray*} F: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2, v\mapsto U\cdot v \end{eqnarray*}$ mit orthogonaler Matrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Da in der Aufgabe steht, "eine Achse die durch den Ursprung verläuft" gehe ich davon aus, dass die x bzw y Achse gemeint ist. Das hätte die Matrizen $\begin{eqnarray*} U_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} U_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zur Folge, welche die obigen Bedingunen ja erfüllen. Eine Drehmatrix $\begin{eqnarray*} U_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ -\sin(\alpha) & \cos(\alpha)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ebenfalls.

Aber nun muss ich ja noch zeigen, dass genau diese drei das erfüllen. Aber daran hänge ich verwirrt

27.06.2022, 11:23

HAL 9000

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RE: Bewegung ist entweder Drehung oder Spiegelung

Zitat:

Original von Malcang
Da in der Aufgabe steht, "eine Achse die durch den Ursprung verläuft" gehe ich davon aus, dass die x bzw y Achse gemeint ist.

Es ist keine Rede davon, dass die Spiegelachse nur die x- oder die y-Achse sein darf, sondern es sind auch alle anderen Geraden durch den Ursprung dafür zugelassen - als Beispiel sei mal die erste Winkelhalbierende (Graph von y=x) genannt...

Ist $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ der Winkel, um den die Spiegelachse gegenüber der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse verdreht ist (mathematisch positiver Drehsinn), dann wird diese Spiegelung beschrieben durch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto U\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dabei $\begin{eqnarray*} a = \cos(2\psi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sin(2\psi) \end{eqnarray*}$ . Deine Spezialfälle ordnen sich da so ein: Spiegelung an x-Achse entspricht $\begin{eqnarray*} \psi=0 \end{eqnarray*}$ , und Spiegelung an y-Achse dann $\begin{eqnarray*} \psi=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

27.06.2022, 14:04

Malcang

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Hallo HAL 9000, danke für deine Zeit.
Ich dachte mir das zwar auch, aber habe dann dummerweise doch davon abgesehen. Nun gut, sagen wir, ich habe eine Achse durch den Ursprung mit dem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ zur x-Achse. Dann ist die Spiegelung an dieser Achse eine Drehung um $\begin{eqnarray*} 2\alpha \end{eqnarray*}$ . Diesen Fall könnte ich also mit der Drehmatrix $\begin{eqnarray*} U_{\alpha} \end{eqnarray*}$ gemeinsam erschlagen. Aber dann fehlt mir ja immer noch der Punkt, dass dies die einzigen sind verwirrt

27.06.2022, 14:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malcang
Dann ist die Spiegelung an dieser Achse eine Drehung um $\begin{eqnarray*} 2\alpha \end{eqnarray*}$ .

Nein.

27.06.2022, 14:27

Malcang

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Oh, ja ich lese es gerade nach, danke sehr. Habe auch deinen Edit gelesen.

Ok, damit hätte ich aber bisher ja nach wie vor "nur" die Richtung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist Drehung oder Spiegelung an Ursprungsgeraden $\begin{eqnarray*} \Rightarrow F \end{eqnarray*}$ ist Bewegung, die den Koordinatenursprung festhält.

27.06.2022, 14:38

HAL 9000

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Ich verstehe nicht, wo noch das Problem liegt?

Für Drehungen um Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bekommt du Matrizen der Form $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ . Umgekehrt kannst du ausgehend von $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2+c^2=1 \end{eqnarray*}$ einen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} a=\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ (Stichworte: atan2 bzw. Polarkoordinaten-Transformation).

Genauso die Spiegelung an der o.g. Achse mit Neigung $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ : Hier bekommt man Matrizen der Form $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\cos(2\psi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sin(2\psi) \end{eqnarray*}$ . Umgekehrt kannst du ausgehend von $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^2+c^2=1 \end{eqnarray*}$ einen Winkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ finden mit $\begin{eqnarray*} a=\cos(2\psi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\sin(2\psi) \end{eqnarray*}$ .

27.06.2022, 14:46

Malcang

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Ah, ich glaube dass wasa du jeweils hinter "Umgekehrt..." schreibst ist das, was mir fehlte.
Wir hatten zwar keine Polarkoordinatentransformation und atan2 muss ich mir nun erstmal anlesen, aber das mache ich auch.

Das sollte sich jetzt mit etwas Recherce lösen lassen, daher danke ich schonmal vielmals Freude

27.06.2022, 18:40

Leopold

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Die Matrix $\begin{align*} U = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a \end{pmatrix} \end{align*}$ mit $\begin{align*} a^2 + c^2 = 1 \end{align*}$ beschreibt, falls $\begin{align*} a \neq -1 \end{align*}$ ist, eine Spiegelung an der Ursprungsgeraden $\begin{align*} g \end{align*}$ mit dem Richtungsvektor $\begin{align*} w = \begin{pmatrix} a+1 \\ c \end{pmatrix} \end{align*}$ . (Im Fall $\begin{align*} a=-1 \end{align*}$ und damit $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ wird offenbar an der $\begin{align*} x_2 \end{align*}$ -Achse gespiegelt.)

Das sieht man mit folgenden Rechnungen ein:

$\begin{align*} Uw = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a+1 \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + a + c^2 \\ ac + c - ac \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ c \end{pmatrix} \end{align*}$

Damit ist gezeigt, daß $\begin{align*} w \end{align*}$ ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist. Die Gerade $\begin{align*} g \end{align*}$ ist somit Fixgerade der Bewegung.

Nun betrachten wir den um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedrehten Vektor $\begin{align*} w^{\bot} = \begin{pmatrix} -c \\ a+1 \end{pmatrix} \end{align*}$ . Für ihn rechnet man:

$\begin{align*} Uw^{\bot} = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -c \\ a+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -ac + ac + c \\ -c^2 - a^2 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c \\ -a-1 \end{pmatrix} = - w^{\bot} \end{align*}$

Damit ist $\begin{align*} w^{\bot} \end{align*}$ Eigenvektor zum Eigenwert -1. Und es ist alles gezeigt: $\begin{align*} U \end{align*}$ beschreibt eine Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ .

Im Anhang eine dynamische Zeichnung mit Euklid, die den hier besprochenen Zusammenhang illustriert.

28.06.2022, 14:57

Malcang

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Danke Leopold, das ist wirklich ein sehr interessanter Ansatz! Freude

Da ich Linux nutze, kann ich Euklid leider nicht testen unglücklich

Edit:
Leopold, muss ich das ganze denn nicht nochmal mit $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} a & -c \\ c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durchführen?

28.06.2022, 15:59

Finn_

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Bei mir hat es gefühlt keine fünf Minuten gedauert, das Programm unter Linux zum Laufen zu kriegen. Wine installieren. Die portable Version DynaGeo.zip runterladen und in ein Verzeichnis entpacken. Die Datei Spiegelungen.geo ebenfalls in dieses Verzeichnis platzieren. Den folgenden Befehl im Verzeichnis ausführen lassen:

wine DynaGeo.exe Spiegelungen.geo

28.06.2022, 16:33

Leopold

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@ Malcang

Eine ähnliche Überlegung kannst du auch im Fall, daß die Determinante 1 ist, anstellen. Im Fall der Drehungen wirst du allerdings, abgesehen von Sonderfällen, vergeblich auf Eigenvektoren hoffen dürfen. Dennoch kannst du aus dem Verhalten der Abbildung geometrische Erkenntnisse ziehen, ganz ohne zunächst die Gebrüder Sinus und Cosinus zu Rate ziehen zu müssen. Betrachte für

$\begin{align*} U = \begin{pmatrix} a & - c \\ c & a \end{pmatrix} \ \ \text{mit} \ \ a^2 + c^2 = 1 \end{align*}$

die Produkte $\begin{align*} Uw \end{align*}$ und $\begin{align*} Uw^{\bot} \end{align*}$ mit der orthogonalen Basis $\begin{align*} w, w^{\bot} \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} w = \begin{pmatrix} a+1 \\ - c \end{pmatrix} \end{align*}$ ist. Veranschauliche das in einem Koordinatensystem.

28.06.2022, 16:37

Malcang

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@Finn_: Ich habe mit WINE keine guten Erfahrungen gemacht, aber ich gebe dem ganzen gleich nochmal eine Chance.

@Leopold: Danke sehr. Ich probiere das heute abend und melde mich dann hier wieder.

Edit: Ich versuche gerade die Lösung komplett nachzuvollziehen, Leopold. Ich verstehe auch die Rechnung

Zitat:

$\begin{align*} Uw = \begin{pmatrix} a & c \\ c & -a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a+1 \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + a + c^2 \\ ac + c - ac \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+1 \\ c \end{pmatrix} \end{align*}$

.

Auch das Argument mit dem Eigenwert sehe ich ein und das die Gerade natürlich eine Fixgerade ist. Aber warum sagt mir das schon, dass es sich hier um eine Spiegelung an dieser Geraden handelt? verwirrt

Mir fehlt hier gerade Zugang zu diesem Argument,

28.06.2022, 20:29

Leopold

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Nimm ein $\begin{align*} x = \lambda w \end{align*}$ auf $\begin{align*} g \end{align*}$ . Für dieses gilt $\begin{align*} Ux = U \left( \lambda w \right) = \lambda \, Uw = \lambda w = x \end{align*}$ . Damit ist jeder Punkt der Geraden $\begin{align*} g \end{align*}$ ein Fixpunkt, ganz wie es beim Spiegeln an $\begin{align*} g \end{align*}$ sein muß.

Jetzt nimm einen beliebigen Punkt $\begin{align*} y \end{align*}$ . Er läßt sich als Linearkombination bezüglich der Basis $\begin{align*} w,w^{\bot} \end{align*}$ schreiben: $\begin{align*} y = \lambda w + \mu w^{\bot} \end{align*}$ . Für dieses $\begin{align*} y \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} Uy = U \left( \lambda w + \mu w^{\bot} \right) = \lambda \, Uw + \mu \, Uw^{\bot} = \lambda w - \mu w^{\bot} \end{align*}$

Der Anteil, der in Richtung von $\begin{align*} g \end{align*}$ verläuft, bleibt erhalten, der dazu senkrechte Anteil ändert sein Vorzeichen. Das ist eine Spiegelung an $\begin{align*} g \end{align*}$ .

[attach]55494[/attach]

28.06.2022, 21:11

Malcang

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Das leuchtet ein, vielen Dank für diese Erklärung. Morgen tüftle ich an der anderen matrix und würde mich freuen, wenn ihr wieder reinschaut smile

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Bewegung ist entweder Drehung oder Spiegelung

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