Exponentialgleichung exakt lösen

28.06.2022, 00:26

mYthos

Exponentialgleichung exakt lösen

Folgende Exponentialgleichung ist exakt zu lösen, also algebraisch und nicht näherungsweise mittels CAS:

$\begin{eqnarray*} 16^x + 20^x = 25^x \end{eqnarray*}$

mY+

28.06.2022, 01:22

rechner

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$\begin{eqnarray*} 16^x + 20^x = 25^x \ ~ | : 20^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{4}{5})^x+1=(\frac{5}{4})^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{4}{5})^x+1=\frac{1}{(\frac{4}{5})^x} \ ~ | \ ~ (\frac{4}{5})^x=z > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z+1=\frac{1}{z} \ ~ | \cdot z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2+z-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

Wegen z>0 folgt die Rücksubstitution mit der positiven Lösung :

$\begin{eqnarray*} (\frac{4}{5})^x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=log_{\frac{4}{5}}(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) \end{eqnarray*}$

28.06.2022, 01:40

rechner

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Wer es mit dem goldenen Schnitt $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ lieber mag:

$\begin{eqnarray*} x=log_{\frac{4}{5}}(\Phi-1) \end{eqnarray*}$

28.06.2022, 15:55

klauss

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RE: Exponentialgleichung exakt lösen
Drollig, auf die war ich gerade ganz zufällig am Samstag hier gestoßen. Habe mich natürlich gleich vergewissert, zu den "3 %" zu gehören.

28.06.2022, 16:35

mYthos

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Die Lösung ist richtig.
Gut (analog) geht es auch, wenn man die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} 25^x \end{eqnarray*}$ dividiert.
x =2.156512354
------------
Schade, dass im Internet die Lösung schon vorweggenommen wurde.

mY+

29.06.2022, 00:51

rechner

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Zitat:

war ich gerade ganz zufällig am Samstag hier gestoßen

Etwas merkwürdig im Ergebnis für den Basiswechsel den Quotienten aus zwei Logarithmen in Kauf zu nehmen, da macht sich genau ein Logarithmusterm fürs Auge für mein Empfinden etwas hübscher - aber das ist natürlich Geschmacksache.

Zitat:

zu den "3 %" zu gehören

Woher solche Prozentzahlen wohl kommen bzw. welcher Grundmenge sie unterliegen.
Naja, vermutlich reine Willkür für den "Clickbait".
Ich meine mich dunkel zu erinnern, dass ich es früher in der Schule auch mal mit solchen Gleichungstypen zu tun hatte.
Solche Gleichungen sind sicher kein Standard im Lehrplan, kann man aber mal zur Vertiefung machen.

Wenn man das mit a,b,c>0 mal für eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} a^x+b^x=c^x \end{eqnarray*}$ verallgemeinert, dann muss offenbar $\begin{eqnarray*} a \cdot c = b^2 \iff \frac{a}{c}=(\frac{b}{c})^2 \end{eqnarray*}$ gelten.

Damit folgt dann

$\begin{eqnarray*} a^x+b^x=c^x \ ~ | \ ~ :c^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{c})^x+(\frac{b}{c})^x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\frac{b}{c})^2)^x+(\frac{b}{c})^x=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((\frac{b}{c})^x)^2+(\frac{b}{c})^x=1 \end{eqnarray*}$

und folglich mit $\begin{eqnarray*} z=(\frac{b}{c})^x \end{eqnarray*}$ eine quadratische Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} z^2+z=1 \end{eqnarray*}$

Nochmal erweitert wäre eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} a^{nx}+b^{nx}=c^{nx} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a \cdot c)^n=(b^n)^2 \iff (\frac{a}{c})^n=((\frac{b}{c})^n)^2 \end{eqnarray*}$ analog zu behandeln.

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