Residuum berechen

28.06.2022, 12:57	matehstudent17	Auf diesen Beitrag antworten »
Residuum berechen Meine Frage: Berechne das folgende reelle Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \! \frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo Sei zunächst $\begin{eqnarray} R(x):=\frac{x^2cos(x)}{x^4-1} \end{eqnarray}$ . Dann ist der Nenner Grad $\begin{eqnarray} = 4 \end{eqnarray}$ und der Zählergrad $\begin{eqnarray} =2 \end{eqnarray}$ . Insbesondre ist der Zählergrad um $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ kleiner als der Nenner Grad. $\begin{eqnarray} R(x) \end{eqnarray}$ hat zwei reelle Polstellen und zwar $\begin{eqnarray} x_1=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2=-1 \end{eqnarray}$ . Des weiteren hat $\begin{eqnarray} R(x) \end{eqnarray}$ die Polstellen $\begin{eqnarray} x_3=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_4=-i \end{eqnarray}$ . Wie machen ich jetzt weiter? Wir hatten bisher immer den Fall, dass $\begin{eqnarray} R(x) \end{eqnarray}$ keine reellen Polstellen hatte, was muss ich jetzt machen? Danke für die Hilfe!
28.06.2022, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
da sollte doch was zu machen sein ... bei Bedarf siehe 4.1.1 ... https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/Roetzer.pdf muss man hier die Pole bei -1 und +1 durch $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Halbkreise umgehen, weil ihre Residuen zum Integral beitragen ... ? wer weiß ...
29.06.2022, 21:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Integrand hat bei -1 und 1 Pole der Ordnung 1, womit das reelle Integral im klassischen Sinn nicht existiert. Koppelt man allerdings bei den Polstellen die Grenzwerte von links und rechts im Sinn des Cauchyschen Hauptwerts, führt man also für kleine $\begin{align} h>0 \end{align}$ in $\begin{align} \int_{- \infty}^{-1-h} \frac{x^2 \cos(x)}{x^4-1} \dd x + \int_{-1+h}^{1-h} \frac{x^2 \cos(x)}{x^4-1} \dd x + \int_{1+h}^{\infty} \frac{x^2 \cos(x)}{x^4-1} \dd x \end{align}$ den Grenzübergang $\begin{align} h \to 0 \end{align}$ durch, enthält man in diesem Sinn mit Hilfe des Residuensatzes $\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{x^2 \cos(x)}{x^4-1} \dd x = \frac{\pi}{2} \left( \operatorname{e}^{-1} - \sin(1) \right) \approx - 0{,}74392 \end{align}$ (Streng genommen müßte man die Grenzübergänge für die Polstellen getrennt durchführen. Ich habe hier eine weitere Kopplung vorgenommen. Es macht hoffentlich nichts aus.)

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