Funktion hat keine Nullstelle

28.06.2022, 17:10

madeleinetuebi

Funktion hat keine Nullstelle

Meine Frage:
Sei f(X) = a0 + a1X + · · · + an?1X^n?1 + X^n ? Z[X] ein Polynom mit Koeffizienten ai ? Z, sodass f(0) und f(1) ungerade Zahlen sind. Zeigen Sie, dass f keine Nullstelle in Q besitzt.

Meine Ideen:
könnte man niht sagen das es ein reeler polynom ist . aber der hauptsatz der algebra sagt doch das diese eine nullstelle hat

28.06.2022, 17:45

Helferlein

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Ist das der Originaltext? Wenn ja würde ich mal f(x)=1+2x betrachten.

28.06.2022, 17:56

Huggy

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Dieses Polynom erfüllt nicht die Aufgabenstellung. Der Koeffzient der höchsten Potenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein. Bei dir ist er $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

28.06.2022, 18:05

madeleinetuebi

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hier ist f(x)=1+2x da gibt es ja eine nullstelle aber die frage ist doch das es keine nullstelle gibt

28.06.2022, 19:31

HAL 9000

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Für eine solche Polynomfunktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Koeffizienten gilt:

1) Jede rationale Nullstelle ist auch ganzzahlig.

2) Aus $\begin{eqnarray*} a\equiv b\bmod m \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(a)\equiv f(b)\bmod m \end{eqnarray*}$ .

(Beides ist natürlich zu begründen.) Und dann betrachte 2) speziell für $\begin{eqnarray*} m=2 \end{eqnarray*}$ ...

28.06.2022, 19:58

Helferlein

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@Huggy: Stimmt, hatte $\begin{eqnarray*} a_{n+1}x^n \end{eqnarray*}$ gelesen, obwohl es nicht da steht. unglücklich

28.06.2022, 21:15

madeleinetuebi

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also vom beweis die 1 hab ich mithilfle des wurzelsatz bewiesen wie bweise ich jedoch die 2

28.06.2022, 22:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von madeleinetuebi
die 1 hab ich mithilfle des wurzelsatz bewiesen

Soso, Wurzelsatz ... Details?

Punkt 2 ist an sich viel leichter, folgt aus der einfachen Modulo-betrachtung

$\begin{eqnarray*} a\equiv b\bmod m \quad \Rightarrow \quad a^k\equiv b^k\bmod m \end{eqnarray*}$ ,

gültig für alle nichtnegativ ganzen Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

29.06.2022, 13:06

madeleinetuebi

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also wenn an=1 ist ist ja bei dem wurzelsatz rationale lösung ganzzahlig
aber wie mache ich die 2 mit mod 2 das verstehe ich noch nicht ganz

29.06.2022, 13:19

HAL 9000

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Mein Unverständnis rührt daher, dass ich nicht weiß, was du unter "Wurzelsatz" verstehst - ich kenne nur den "Wurzelsatz von Vieta", der hier eher nicht weiter hilft.

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