Binomialverteilung ohne Stichprobenumfang?

29.06.2022, 06:45

MMchen60

Binomialverteilung ohne Stichprobenumfang?

Hallo liebe Forumsgemeinde,
ich habe ein Problem bei Aufgabenteil b) der abgebildeten Aufgabe.
Teil a) ist klar mit $\begin{eqnarray*} E(X)=\frac {1}{0,6}=1,6667 \end{eqnarray*}$
Bei Teil b) steht in der Kurzlösung
P(X>6 | X>2)=0,0256. Das P(..|..) ist doch doe Notation einer bedingten Wahrscheinlichkeit oder? Und wie berechne ich das Ergebnis in diesem Fall? Ist das denn überhaupt eine Binomialverteilung, weil in der Einleitung zur Lösung steht:
X = Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg proportional $\begin{eqnarray*} G(\pi = 0,6) \end{eqnarray*}$ .
Was soll hier das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und was ist G??
Danke für Antwort

29.06.2022, 08:59

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist nicht binomial- sondern geometrisch verteilt - kann man sich sofort selbst klar machen: Man schafft es in genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Versuchen, wenn dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Versuch erfolgreich ist und die $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ vorangegangenen Versuche fehlgeschlagen sind, d.h.,

$\begin{eqnarray*} P(X=n) = p\cdot (1-p)^{n-1} \end{eqnarray*}$

bei dir hier mit Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p=0.6 \end{eqnarray*}$ . Wenn manche das statt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nennen, auch gut - gewöhnlich meidet man Symbol $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , wenn auch nur die geringste Chance einer Verwechslung mit der Kreiszahl besteht, und in der Stochastik taucht $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bei Verteilungen nun mal auch gelegentlich auf.

Es ist übrigens auch $\begin{eqnarray*} P(X>n) = (1-p)^n \end{eqnarray*}$ , denn das ist die Wahrscheinlichkeit für Durchfallen in den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Prüfungen.

29.06.2022, 09:58

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist übrigens auch $\begin{eqnarray*} P(X>n) = (1-p)^n \end{eqnarray*}$ , denn das ist die Wahrscheinlichkeit für Durchfallen in den ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Prüfungen.

Das ist zwar einleuchtend, danke. Nur gibt bei mir P(X>7)=0,4^7 nicht das Ergebnis, welches in der Kurzlösung steht.
Liebe Grüße
M. Müller

29.06.2022, 10:47

HAL 9000

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Ich wüsste jetzt nicht, bei welcher Teilaufgabe hier $\begin{eqnarray*} P(X>7) \end{eqnarray*}$ was zu suchen hat. verwirrt

Hier bei b) geht es um die sogenannte Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung: Für $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$ gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} P\left(X>n \mid X>m\right) = \frac{P\left(X>n,X>m\right)}{P\left(X>m\right)} = \frac{P\left(X>n\right)}{P\left(X>m\right)} = \frac{(1-p)^n}{(1-p)^m} = (1-p)^{n-m} \stackrel{!}{=} P\left(X>n-m\right) \end{eqnarray*}$ .

Es ist somit $\begin{eqnarray*} P\left(X>6 \mid X>2\right) = P\left(X>4\right) = 0.4^4 = 0.0256 \end{eqnarray*}$ .

Gedächtnislosigkeit heißt hier somit, dass es keine Rolle spielt, wie oft man schon durchgefallen ist, wenn es um die Verteilung der Anzahl der weiteren nötigen Versuche geht. Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung, die diese Eigenschaft hat - im Bereich der stetigen Verteilungen ist das Pendant die Exponentialverteilung.

29.06.2022, 11:35

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Gedächtnislosigkeit heißt hier somit, dass es keine Rolle spielt, wie oft man schon durchgefallen ist, wenn es um die Verteilung der Anzahl der weiteren nötigen Versuche geht. Die geometrische Verteilung ist die einzige diskrete Verteilung, die diese Eigenschaft hat - im Bereich der stetigen Verteilungen ist das Pendant die Exponentialverteilung.

OK, verstanden, vielen herzlichen Dank.

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