Wie viele Stellen hat das Ergebnis?

29.06.2022, 09:51

Frey1

Wie viele Stellen hat das Ergebnis?

Meine Frage:
Schreiben Sie die Zahlen 2^1000 und 5^1000 in dezimaler Schreibweise nebeneinander. Wie viele Ziffern hat die neu erhaltene Zahl?

Meine Ideen:
Wie kann man das lösen, ohne einen Taschenrechner zu benutzen?

29.06.2022, 10:15

Steffen Bühler

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RE: Wie viele Stellen hat das Ergebnis?
Es gilt $\begin{eqnarray*} 2^x=10^{x \cdot \lg 2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5^x=10^{x \cdot \lg 5} \end{eqnarray*}$ . Die Zehnerlogarithmen von 2 und 5 kann man zur Not nachschlagen.

Viele Grüße
Steffen

29.06.2022, 11:12

HAL 9000

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Wenn es nur um die Frage "Wie viele Ziffern hat die neu erhaltene Zahl?" geht, muss man auch die Zehnerlogarithmen nicht nachschlagen. Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Ziffern von $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ die der Ziffern von $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ . Aus den Betrachtungen von Steffen kann man dann $\begin{eqnarray*} a_n = \left\lfloor n\cdot \lg(2)\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n = \left\lfloor n\cdot \lg(5)\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ folgern. Nun sind die Argumente in den Gaußklammern für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ irrational, es gilt somit

$\begin{eqnarray*} n\cdot \lg(2) < a_n < n\lg(2)+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\cdot \lg(5) < b_n < n\lg(5)+1 \end{eqnarray*}$

In der Summe ergibt das wegen $\begin{eqnarray*} \lg(2)+\lg(5)=\lg(10)=1 \end{eqnarray*}$ die Doppelungleichung $\begin{eqnarray*} n < a_n+b_n < n+2 \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} a_n+b_n \end{eqnarray*}$ ganzzahlig sein muss, bleibt zwangsläufig nur $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=n+1 \end{eqnarray*}$ .

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Für jüngere Schulklassen kann man das auch logarithmenfrei erklären: $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ mit Stellenzahl $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5^n \end{eqnarray*}$ mit Stellenzahl $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ sind für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gewiss keine Zehnerpotenzen. Damit gilt

$\begin{eqnarray*} 10^{a_n-1} < 2^n < 10^{a_n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10^{b_n-1} < 5^n < 10^{b_n} \end{eqnarray*}$ .

Multipliziert ergeben die Ungleichungen $\begin{eqnarray*} 10^{a_n+b_n-2} < 10^n < 10^{a_n+b_n} \end{eqnarray*}$ , was nur mit $\begin{eqnarray*} n=a_n+b_n-1 \end{eqnarray*}$ möglich ist, damit ist die Gesamtstellenanzahl $\begin{eqnarray*} a_n+b_n=n+1 \end{eqnarray*}$ .

29.06.2022, 12:41

Frey1

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Da ist der Weg über die Potenzen doch einfacher und schneller erledigt. Vielen Dank. Hat sich bei der Überführung der gaußklammer in die Ungleichung ein Fehler eingeschlichen (ein Faktor n zuviel) oder übersehe ich etwas?

29.06.2022, 12:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Frey1
Hat sich bei der Überführung der gaußklammer in die Ungleichung ein Fehler eingeschlichen (ein Faktor n zuviel)

Ja richtig, komischer Copy+Paste-Fehler. Ist korrigiert, und danke für den Hinweis.

29.06.2022, 12:55

G290622

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RE: Wie viele Stellen hat das Ergebnis?
Ausführlicher:

2^x= 10^y

y= log2^x = x*log2

-> 2^x = 10^(x*log2)

log= log mit Basis 10

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