Die Eulersche Gerade

30.06.2022, 16:43

Malcang

Die Eulersche Gerade

Guten Tag mal wieder smile

eine Sache habe ich einfach noch nicht wirklich verstanden.
Wenn ich ein Dreieck habe und bestimme Schwerpunkt $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ , Höhenschnittpunkt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und Umkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Dann liegen diese drei auf der Eulergeraden. Außerdem gilt
$\begin{eqnarray*} s = \frac{1}{3}h + \frac{2}{3}m \end{eqnarray*}$ .
So sieht es aus:
[attach]55506[/attach]

Was ich nun aber noch nicht eingesehen habe ist die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ die Strecke $\begin{eqnarray*} mh \end{eqnarray*}$ im Verhältnis $\begin{eqnarray*} 1:2 \end{eqnarray*}$ teilt. Folgt das aus der Gleichung oben?

Und was ich auch nicht verstehe: Liegt der Punkt $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ immer zwischen $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und der Dreiecksseite? Oder könnte $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ auch "in Richtung" einer Ecke liegen, so wie $\begin{eqnarray*} m? \end{eqnarray*}$

Edit:
Durch einfaches Einsetzen habe ich rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} ||h-s|| = 2||s-m|| \end{eqnarray*}$ . Diesen Punkt habe ich also schonmal nachvollzogen.

30.06.2022, 21:00

Leopold

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längst geklärt

Für die Lage von h betrachte als Sonderfall ein rechtwinkliges Dreieck.

01.07.2022, 13:56

Bürgi

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Guten Tag,

nur als Ergänzung:

Zitat:

Liegt der Punkt h immer zwischen s und der Dreiecksseite? Oder könnte h auch "in Richtung" einer Ecke liegen, so wie m?

[attach]55512[/attach]

Wie Du siehst, können H und M (keine Plünnen) auch außerhalb des Dreiecks liegen. S liegt immer innerhalb des Dreiecks.

Eulergerade: rot
Höhen: gelb
Mittelsenkrechte: blau

02.07.2022, 10:31

Malcang

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Danke euch beiden dass ihr euch die Mühe gemacht habt. Ich habe jede Menge mit GeoGebra rumgespielt und ich glaube, es nun langsam verinnerlicht zu haben Big Laugh

Leopold, sorry übrigens, ich glaube ich habe die von dir verlinkte Antwort in dem Thread damals übersehen. Die war natürlich hilfreich, vielen Dank dafür Freude

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