Abschätzung der Genauigkeit nach Tschebyscheff

30.06.2022, 20:00	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung der Genauigkeit nach Tschebyscheff Hallo liebe Forumsgemeinde, meine Frage hat zwar nicht direkt mit der Tschebyscheff'schen Ungleichung zu tun. Es geht um die Aufgabe im Anhang. Die Berechnung von Tschebyscheff für a) und b) ist mir klar. a) $\begin{eqnarray} 1-\frac {0,25^2}{1^2}=1-0,25=0,75 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 1-\frac {1}{16}=0,9375 \end{eqnarray}$ c) Was setze ich da wo ein? Aber jetzt zur eigentlichen Frage. Für die Normalverteilung von a) mit $\begin{eqnarray} X \sim N(\mu;\sigma^2=0,25) \end{eqnarray}$ wie komme ich da auf den in der Kurzlösuing angegebenen Wert 0,9544? Und welches X muss ich denn in der Exponentialverteilung mit $\begin{eqnarray} 1- e^{-\lambda \cdot X} \end{eqnarray}$ einsetzen? Wie kommt die Lösung da auf 0,9933? Vielen Dank für Antwort.
02.07.2022, 21:08	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung der Genauigkeit nach Tschebyscheff Man soll offenbar die geschätzte Wahrscheinlichkeit mit der tatsächlichen vergleichen. Bei a) wäre letzteres $\begin{eqnarray} P\left(\| X-\mu_{X} \|<1 \right) =\Phi\left(\frac{\mu_{X}+1-\mu_{X}}{\sigma} \right) - \Phi\left(\frac{\mu_{X}-1-\mu_{X}}{\sigma} \right)=...=2\cdot \Phi(2)-1 \end{eqnarray}$ Bei b) gilt $\begin{eqnarray} \mu_{X}=\frac{1}{\lambda}= \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Da die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung = 0 ist für $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ besteht für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ nach unten ohnehin nur ein Abweichungsspielraum zu $\begin{eqnarray} \mu_{X} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} 1/4<1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kann somit nur nach oben um 1 von $\begin{eqnarray} \mu_{X} \end{eqnarray}$ abweichen. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit ist daher $\begin{eqnarray} F_{Exp}= 1-e^{-\lambda \left(\frac{1}{\lambda }+1 \right) } \end{eqnarray}$

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