Integration durch Substitution

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30.06.2022, 20:30	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Mir ist nicht klar, wie ich bei der folgen Aufgabe so weiter komme: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f((x+a)^{2}+b^{2})^-{1} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(\frac{1}{c}x+a)}{c} \end{eqnarray}$ =
30.06.2022, 20:34	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es geht um Integration durch Substitution $\begin{eqnarray} \frac{x+a}{b} \end{eqnarray}$ mir ist nicht klar wie es zu dieser Sustitution kommt
30.06.2022, 20:38	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Es geht um Integration durch Substitution und $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht genau, was ich machen muss um zu dieser Substitution zu Kommen.
30.06.2022, 20:45	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du vielleicht $\begin{eqnarray} \int\limits_x^y ((x+a)^2+b^2)^{-1} = \int\limits_x^y\frac{1}{(x+a)^2+b^2} \end{eqnarray}$ ? Das würde den Term $\begin{eqnarray} \frac{x+a}{b} \end{eqnarray}$ erklären, der hier allerdings keine Substitution darstellt. Falls du dieses Integral meinst, dann ist $\begin{eqnarray} \int\limits_x^y ((x+a)^2+b^2)^{-1} = \int\limits_x^y\frac{1}{(x+a)^2+b^2} = \int\limits_x^y\frac{1}{b^2\cdot ((\frac{x+a}{b})^2+1)} = \frac{1}{b^2}\cdot\int\limits_x^y\frac{1}{(\frac{x+a}{b})^2+1} \end{eqnarray}$ Dies ist nun ein Standardintegral, welches ihr bestimmt in einer Tabelle habt.
30.06.2022, 21:26	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht um folgende Aufgabe: Berechnen Sie mithilfe geeigneter Substitution ( für positives a und b) das folgende Integral $\begin{eqnarray} int_{a}^{b} \! f((x+c)^{2}+ d^{2})^{-1} ) \, dx \end{eqnarray}$ (mit c,d e R>0) ich habe jetzt die etwas vertauscht, damit ich nicht die Buchstaben der Integralgrenzen nochmal verwenden muss.
30.06.2022, 21:29	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f(x+c)^{2}+d^{2})-^{1} \, dx \end{eqnarray}$ so lautet das Integral aus der Aufgabe richtig und c,d eR >0
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30.06.2022, 21:34	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
manchmal klapt es noch nicht ganz mit Latex. Es ist zum Schluß ^-1
30.06.2022, 21:46	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! f((x+c)^{2}+d^{2})^{-1} \, dx \end{eqnarray}$ so ist die Aufgabe korrekt geschrieben und c,d eR >0 um die Aufgabe nochmal zu benennen; Berechnen Sie mithilfe geeigneter Substitutin (für positives a und b ) eben diese beschriebene Aufgabe
30.06.2022, 21:51	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
und das Ergebnis lautet = $\begin{eqnarray} \frac{1}{d} (arctan\frac{b+a}{d}-arctan\frac{a+c}{d}) \end{eqnarray}$
30.06.2022, 22:01	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
es müsste bei beiden Brüchen +c heißen. Die Beschreibung dieser Aufgabe war nicht in so vielen schritten geplant. Das liegt daran, dass ich erst noch mit latex nicht ganz klar kam und mich dann noch vertippt habe.
30.06.2022, 22:16	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte daher immermal den Vorschaubutton nutzen. Mit a und b als Grenzen, das hätte mir auffallen müssen, gut das du es sagst. Werde es oben zu x und y ändern. Trotzdem fehlt mir eine Information, was das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ sein soll.
30.06.2022, 22:29	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war mein letzter Fehler. In der Aufgabe steht gar kein f.
30.06.2022, 23:10	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest besser die Aufgabe abfotografieren,
01.07.2022, 06:05	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen Sie mithilfe einer geeigneten Substitution (für positives a und b) das folgende Integral $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! ((x+c)^{2}+d^{2})^{-1} \, dx \end{eqnarray}$ (mit c, d eR > 0)
01.07.2022, 06:11	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnen Sie mithilfe geeigneter Substitution (für positives a und b) folgendes Integral $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! ((x+c)^{2}+d^{2})^{-1} \, dx \end{eqnarray}$ (mit c, d eR, d>0) das sollte jetzt stimmen.
01.07.2022, 08:26	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch in 2 naheliegenden Schritten substituieren. Zunächst ist die Substitution $\begin{eqnarray} y=x+c \end{eqnarray}$ naheliegend. Dann klammert man im Nenner $\begin{eqnarray} d^2 \end{eqnarray}$ aus. Danach ist die Substitution $\begin{eqnarray} z= \frac y d \end{eqnarray}$ naheliegend. Die beiden Substitutionen zusammen ergeben die in der Lösung angegebene Substitution. Da Malcang schon gezeigt hat, wie man durch Umformungen gleich auf die Substitution der Lösung kommt, ist mir nicht klar, welche Frage du jetzt noch hast.
01.07.2022, 15:32	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist bei dieser Aufgabe $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! ((x+c)^{2}+d^{2})^{-1} x) \, dx \end{eqnarray}$ klar, das zunächst $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} \! \frac{1}{(x+c)^{2}+d^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ folgt. Was mir dann nicht klar ist, im online Integralrechner kommt dann : Substituiere U= $\begin{eqnarray} \frac{x+c}{d} \end{eqnarray}$ dann Pfeil $\begin{eqnarray} \frac{du}{dx} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{d} \end{eqnarray}$ . Mir ist Art der Substitution, auch wie es zu u = $\begin{eqnarray} \frac{x+c}{d} \end{eqnarray}$ nicht klar.
01.07.2022, 17:22	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man $\begin{eqnarray} u(x)=\frac {x+c} d \end{eqnarray}$ betrachtet, dann rechne doch einfach mal die Ableitung $\begin{eqnarray} u'(x)=\frac {du}{dx} \end{eqnarray}$ aus.
02.07.2022, 22:47	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Lösung der Fernuni steht als zweiter Schritt $\begin{eqnarray} \int_{e(c)}^{e(d)} \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{e`}^{d`} \! f(e(t))e`(t)) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_{a`}^{b`} \frac{1}{b^2t^2+d^2} \, ddx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{d} \int_{c`}^{d`} \frac{1}{1+t^2} \, dx \end{eqnarray}$ [wegen d>0] = $\begin{eqnarray} \frac{1}{d} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \arctan{}_{c`}^{d`} \end{eqnarray}$ = = $\begin{eqnarray} \frac{1}{d} \end{eqnarray}$ (arctan $\begin{eqnarray} \frac{b+c}{d} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{a+c}{d} \end{eqnarray}$ Ich verstehe jetzt nicht wie es beim dritten Integral zu genau diesem Bruch mit den Hochzahlen im Nenner kommt. Das vierte Integral ist mir ebenso unklar wie zum Schluss in der Klammer (arctan $\begin{eqnarray} \frac{b+c}{d} \end{eqnarray}$ - $\begin{eqnarray} \frac{b+c}{d} \end{eqnarray}$ Diese Substitution $\begin{eqnarray} \frac{x+c}{d} \end{eqnarray}$ stammt ja von einem online Integralrechner, bei dem zum Schluss angenommen wurde, a-b>0 ist. Das kann natürlich zu einer etwas anderen Aussage führen
02.07.2022, 22:53	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
nach dem zweiten Bruch steht dann nochmsl arctan) . Da habe ich wohl irgendwas vergessen.

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