Ansatz in Differentialgleichung

01.07.2022, 10:42	latex_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ansatz in Differentialgleichung Hallo, ich habe Fragen zur sogenannten Boussinesq-Approximation in der Hydrodynamik. Es handelt sich um ein System von 5 Differentialgleichungen für 5 gesuchte Funktionen $\begin{eqnarray} \vec v , p_s, T_s \end{eqnarray}$ die abhängen von $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec r \end{eqnarray}$ . Eine der Gleichungen lautet $\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \operatorname{div} \left(\rho \vec v \right) = 0 \end{eqnarray}$ (K) mit einer Funktion $\begin{eqnarray} \rho (T_s) \end{eqnarray}$ . Eine weitere lautet $\begin{eqnarray} \frac{\partial T_s}{\partial t} + \vec v \cdot\nabla T_s = a \Delta T_s \end{eqnarray}$ (W) mit Konstante $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Anscheinend wird nun der Ansatz $\begin{eqnarray} \operatorname{div} \left(\rho \vec v \right) = 0 \end{eqnarray}$ (A) gemacht, der (K) aus unerfindlichen Gründen ersetzen soll. Wikipedia argumentiert, (A) folge aus (K) durch Annahme von $\begin{eqnarray} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec v \cdot\nabla \rho = 0 \end{eqnarray}$ (I). (I) zieht aber $\begin{eqnarray} \frac{\partial T_s}{\partial t} + \vec v \cdot\nabla T_s = 0 \end{eqnarray}$ nach sich, was in (W) eingesetzt werden müsste, aber nicht wird. Meine konkrekten Fragen: Gibt es irgend eine mathematische Rechtfertigung, eine Differentialgleichung zu ersetzen durch eine andere, die aber eher einen Ansatz/zusätzliche Bedingung für die Lösung beschreibt? Wenn ich eine Annahme (I) über die gesuchte Lösung mache, kann ich die dann einfach in eine Gleichung einsetzen, in andere aber nicht?

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