Einfach zusammenhängende komplexe Menge zeichnen

02.07.2022, 11:11	mathestundent17+	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach zusammenhängende komplexe Menge zeichnen Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} A= \left\{ t \in \mathbb{R} \| \|t\|\ge 1 \right\} \cup \left\{ s \in i\mathbb{R} \| \|s\|\ge 1\right\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} G:=\mathbb{C}\setminus A \end{eqnarray}$ einfach zusammenhängend ist. Eine Skizze zur Orientierung könnte helfen Meine Ideen: Zu nächst meine Skizze [attach]55513 [/attach] Laut Definition im Skript ist ein Gebiet $\begin{eqnarray} G:= \mathbb{C}\setminus A \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus nullhomolog ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} G \subset \mathbb{C} \end{eqnarray}$ offen und $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ Zyklus in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Ein Zyklus heißt Nullhomolog in $\begin{eqnarray} G \Leftrightarrow n_\Gamma(z)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in A \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ ein beliebiger Zyklus in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ und sei $\begin{eqnarray} z \in A. \end{eqnarray}$ Wie mache ich jetzt weiter?
02.07.2022, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang ist nicht überzeugend, denn A besteht aus allen reellen und rein imginären Zahlen, deren Betrag größer oder gleich 1 ist. A enthält also nur die Achsenabschnitte außerhalb des Einheitskreises, und sonst nichts. Das Komplement ist von 0 aus "sichtbar", also ist eine Nullhomotopie explizit konstruierbar. (Tipp: Ziehe die gesamte Ebene radial auf 0 zusammen.) Deine Definition von "einfach zusammenhängend" scheint mir zu kompliziert und unvollständig. Eine bessere Definition ist z.B. hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Zusammen...menh%C3%A4ngend

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »