Bewegung ist Translation oder Schubspiegelung

03.07.2022, 11:03	Malcang	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegung ist Translation oder Schubspiegelung Hallo, schönen Sonntag ich befasse mich mit folgender Aufgabe: [attach]55523[/attach] (a) habe ich folgendermaßen gelöst: Es ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ genau dann ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} F(x) = x \end{eqnarray}$ gilt. Also $\begin{eqnarray} F(x) = x \Leftrightarrow F(x)-x = F(x) - id(x) = Ux+t - id(x) = (U-id)(x) + t = 0 \Leftrightarrow (U-id)(x) = -t \end{eqnarray}$ . Und da $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ keinen Fixpunkt hat, ist dies widersprüchlich. Damit weiß ich, dass die Funktion nicht surjektiv ist, also ist $\begin{eqnarray} \det(U-1\cdot id)=0 \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert, womit (b) gelöst ist. Ist das bisher korrekt? Ich habe leider keine Idee für c und d. $\begin{eqnarray} O(2) \end{eqnarray}$ bezeichnet die orthogonale Gruppe, also $\begin{eqnarray} O(2) = \left\{ U\in R^{2\times 2} : U \text{ orthogonal }\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} SO(2) = \left\{ U \in O(2): \ det(U) = 1 \right\} \end{eqnarray}$ die spezielle lineare Gruppe.

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