Auflösen eines Logarithmustermes

04.07.2022, 00:09

Florian_WIWI

Auflösen eines Logarithmustermes

Meine Frage:
Hey, ich hoffe jemand kann mir bei meinem Verständnis bzgl. Logarithmengesetzen helfen.
Ich habe im Internet leider immer nur die klassischen Umformmöglichkeiten von Log gefunden.

Ich habe mich gefragt was der Grund ist, dass man einen Log nicht erst aufsplitten kann und dann die e Funktion nimmt um es aufzulösen. Also offensichtlich ist es ein anderes Ergebnis, als wenn man den Log Term als einzelnen stehen lässt und dann einfach mit e Funktion auflöst aber warum?

Nochmal zur Veranschaulichung was ich meine:
wenn wir log(3x)= U hätten
kann man natürlich mit e Funktion beides erweitern um den Log wegzubekommen.
hier ist also noch 3x =e hoch U und die 3x sind weiterhin multiplikativ verknüpft.

Meine Ideen:
Wenn man aber log(3x) aufsplittet so wie man das meines Wissens nach auch machen kann in log(3) +log(x) hätten wir jetzt natürlich andere Grundvorraussetzungen für die E Technik. wenn man jetzt beide Seiten mit e erweitert kommt natürlich ein anderes Ergebnis heraus aber warum darf man das nicht machen bzw was müsste man noch machen damit man dies dürfte?

Ich hoffe Ihr könnt mir hierbei helfen oder mich korrigieren wenn ich ohnehin irgendwo einen Denkfehler habe. Ich wäre sehr dankbar für jeglichen Ansatz.

Viele Grüße
Florian

04.07.2022, 00:30

Finn_

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Kommt wirklich ein anderes Ergebnis bei raus? Beachte diese beiden Regeln:

1. Für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e^{x+y} = e^x e^y,\qquad \end{eqnarray*}$ (Funktionalgleichung der Exponentialfunktion)

2. Für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R_{>0} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} e^{\log(x)} = x.\qquad \end{eqnarray*}$ (Verkettung von Funktion und Umkehrfunktion hebt sich weg)

04.07.2022, 06:21

early

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Vorsicht! log wird oft als log mit der Basis 10 verstanden. (mein TR verwendet es so)
ln ist eindeutig.
wolfram verwendet log =ln.
Oft findet man auch: log_10 = lg

Auch hier herrscht ein kleines Chaos in der Mathematik.

04.07.2022, 06:41

Leopold

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Vielleicht hängt es damit zusammen, worauf early hingewiesen hat. Ansonsten erhält man auf beide Arten dasselbe Ergebnis. In den Bezeichnungen lege ich mich fest: $\begin{align*} \ln \end{align*}$ für den natürlichen Logarithmus, die Umkehrung der e-Funktion. Für $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ gilt dann:

$\begin{align*} \ln(3x) = U \ \ \Leftrightarrow \ \ 3x = \operatorname{e}^U \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \frac{1}{3} \operatorname{e}^U \end{align*}$

$\begin{align*} \ln(3x) = U \ \ \Leftrightarrow \ \ \ln(3) + \ln(x) = U \ \ \Leftrightarrow \ \ \ln(x) = U - \ln(3) \ \ \Leftrightarrow \ \ x = \operatorname{e}^{U - \ln(3)} \end{align*}$

Auf beide Arten erhält man dasselbe. Wie man das ineinander umrechnen kann, zeigen die Gesetze, die Finn_ aufgeschrieben hat.

04.07.2022, 10:06

Bürgi

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RE: Auflösen eines Logarithmustermes
Guten Morgen

Zitat:

Wenn man aber log(3x) aufsplittet so wie man das meines Wissens nach auch machen kann in log(3) +log(x) hätten wir jetzt natürlich andere Grundvorraussetzungen für die E Technik. wenn man jetzt beide Seiten mit e erweitert kommt natürlich ein anderes Ergebnis heraus

Könnte es vielleicht möglichweise sein, dass du so gerechnet hast:

$\begin{eqnarray*} \ln(3)+\ln(x) = U~\Longrightarrow e^{\ln(3)} + e^{\ln(x)} = e^U \end{eqnarray*}$

Ich will dir jetzt nichts unterstellen, aber aus meiner Erfahrung ist das ein gern genommener Fehler.
Beachte die Rechenregeln, die Finn gepostet hat.

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