Doppelte Doppelintegrale

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Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelte Doppelintegrale
Hallo liebes Matheboard! Ich melde mich mit einem Anliegen, das zwei Aufgabenstellungen umfasst, welche jeweils mit Doppelintegralen zu tun haben, quasi doppelte Doppelintegrale ;-). Zwecks Platzersparnis würde ich beide Aufgabenstellungen gerne hier reingeben und auch gemeinsam hier behandeln wollen.

1) Berechne , wobei das Rechteck sein soll.

Probleme bereitet mir hier klarerweise der Ausdruck , da ich nicht weiß, wie man diesen integrieren könnte (meine bisherigen Ansätze liefen dahingehend allesamt ins Leere). Meine Vermutung ist, dass dieses Integral Null sein könnte, da der Sinus eine ungerade Funktion ist und die Menge symmetrisch ist. Ich weiß leider nur nicht, ob man dies auch bei Doppelintegralen wie im oben genannten Fall so einfach anwenden könnte. Eine Hilfestellung dahingehend wäre super.

2) Sei



Zeigen Sie, dass das iterierte Integral existiert, f jedoch nicht auf das Rechteck Riemann-integrierbar ist.

Dass f nicht Riemann-integrierbar ist, kann man, so glaube ich relativ einfach nachweisen. Ich würde mich da an der Dirichlet-Funktion orientieren und zeigen, dass Ober- unter Untersummen nicht beliebig nahe approximiert werden können in Abhängigkeit von der gewählten Zerlegung.

Schwierigkeiten bereitet mir da vielmehr der Existenznachweis dieses iterierten Integrals. Soll man da einfach mal wild drauf los integrieren und dann eine stückweise definierte Stammfunktion erhalten? Hat hierfür jemand vielleicht eine Idee, wie man das angehen bzw. lösen könnte?

Liebe Grüße,
Cauchyy
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelte Doppelintegrale
Zitat:
Original von Cauchyy
Meine Vermutung ist, dass dieses Integral Null sein könnte, da der Sinus eine ungerade Funktion ist und die Menge symmetrisch ist. Ich weiß leider nur nicht, ob man dies auch bei Doppelintegralen wie im oben genannten Fall so einfach anwenden könnte.

Ja weshalb denn nicht. Unterteile das innere Integral über in zwei Teilintegrale über und und mache in einem der beiden Teilintegrale die Substitution .

Zitat:
Schwierigkeiten bereitet mir da vielmehr der Existenznachweis dieses iterierten Integrals. Soll man da einfach mal wild drauf los integrieren und dann eine stückweise definierte Stammfunktion erhalten

Bei dem Doppelintegral existiert doch auch das innere Integral nicht als Riemann-Integral mit Ausnahme von . Das heißt, es existiert nach meinem Verständnis weder das Bereichsintegral noch das Doppelintegral als Riemann-Integral
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich ist gemeint...
Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Erstmal vielen lieben Dank für die Antworten. Sie haben mir bereits weitergeholfen.

Zum relevanten Punkt:

Zitat:

Bei dem Doppelintegral existiert doch auch das innere Integral nicht als Riemann-Integral mit Ausnahme von . Das heißt, es existiert nach meinem Verständnis weder das Bereichsintegral noch das Doppelintegral als Riemann-Integral


Ja, das tut mir sehr leid, denn ich habe mich tatsächlich verschrieben. Es sollte natürlich, wie von HAL9000 angemerkt, eigentlich



heißen. Mir leuchtet immer noch nicht ganz ein, warum dieses Integral existieren sollte.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet denn nach der Korrektur das innere Integral für und für ?
Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde jetzt einfach mal tippen, dass für das Integral und für das Integral lauten müsste. Es sei denn, ich übersehe gerade etwas ganz Grobes und liege gerade völlig falsch.

Ist das der Grund warum dieses iterierte Integral existiert? Weil durch diese Korrektur Stammfunktionen mit dy gefunden werden können? Und das darauf folgende Integrieren mit dx so erst möglich gemacht wird?
 
 
Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde jetzt einfach mal tippen, dass für das Integral und für das Integral lauten müsste. Es sei denn, ich übersehe gerade etwas ganz Grobes und liege gerade völlig falsch.

Ist das der Grund warum dieses iterierte Integral existiert? Weil durch diese Korrektur Stammfunktionen mit gefunden werden können? Und das darauf folgende Integrieren mit so erst möglich gemacht wird?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cauchyy
Also ich würde jetzt einfach mal tippen, dass für das Integral und für das Integral lauten müsste.

Wir reden hier über BESTIMMTE Integrale, vergiss das nicht.
Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Cauchyy
Also ich würde jetzt einfach mal tippen, dass für das Integral und für das Integral lauten müsste.

Wir reden hier über BESTIMMTE Integrale, vergiss das nicht.


Ach ok, dann meine ich es so langsam zu verstehen. In meiner Antwort war ich mit der Formulierung ein wenig schlampig. Das da oben sind mögliche Stammfunktionen des inneren Integrals und in dieser iterierten Version hätte man für beide Teile der stückweise definierten Funktion schließlich dasselbe Integral, nämlich 1, oder? Und damit würde auch die Integration nach x kein Problem mehr darstellen (schlussendlich wäre das gesamte Integral dann auch 1, nicht wahr?)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Cauchyy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Richtig.


Dann habe ich euch beiden vielmals zu danken und wünsche euch noch einen schönen Abend. smile
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