Totale Ableitung Beweis, Verständnisfrage

04.07.2022, 20:32	maxmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Ableitung Beweis, Verständnisfrage Meine Frage: Hallo, ich habe mir gerade einen Beweis durchgelesen, der besagt, dass wenn die partiellen Ableitungen einer Funktion alle stetig in x sind, dann ist f auch in x total differenzierbar. Erstmal wurde totale Differenzierbarkeit für eine Funktion $\begin{eqnarray} f:U->\mathbb R ^m \end{eqnarray}$ so definiert: Es gibt eine Matrix D, sodass : $\begin{eqnarray} \forall h \in \mathbb R ^n~mit~ x+h \in U ~ gilt ~f(x+h)=f(x)+Dx+g(h)~und~\lim_{h \to 0}\frac{g(h)}{\|h\|} \end{eqnarray}$ Der Beweis funktioniert ähnlich wie Satz 10.12 (S72) hier: https://www.mathematik.tu-darmstadt.de/media/analysis/lehrmaterial_anapde/hallerd/Ana2Skript16.pdf Meine Ideen: Meine Frage bezieht sich auf die Einschränkung die ganz am Anfang des Beweises vorgenommen wird. h wird dort kleiner Epsilon gewählt um später noch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen ausnutzen zu können. Aber gilt damit nicht die Gleichheit aus der Definition der totalen Ableitung eben dann nur für die Epsilon Umgebung von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ und nicht auf ganz G? Würde das nicht bedeuten, dass eigentlich nur die Einschränkung von f auf eben diese Umgebung total differenzierbar in $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist? Oder habe ich da etwas missverstanden?
05.07.2022, 09:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Totale Diffenezierbarkeit an einem Punkt liegt dann vor, wenn man an diesem Punkt eine n-dimensionale Tangentialebene anlegen kann, welche für eine $\begin{eqnarray} \epsilon- \end{eqnarray}$ Umgebung eine lineare Näherung der Funktion darstellt (in alle Richtungen!). Beispiel: Gegeben sei eine Hallbkugefläche: $\begin{eqnarray} z=f(x,y)=\sqrt{R^2-x^2-y^2} \end{eqnarray}$ Diese ist am Nordpol $\begin{eqnarray} (x_0;y_0)=(0;0) \end{eqnarray}$ total dif'fbar, weil man dort eine Tangentialebene anlegen kann. Diese verläuft parallel zur xy-Ebene und stellt in der Umgebeung des Punktes $\begin{eqnarray} (x_0;y_0) \end{eqnarray}$ eine lineare Näherung der Funktion f(x,y) dar. Wichtig ist, dass diese Tangentialebene in alle Richtungen eine lineare Näherung darstellt. Gegensbeispiel: Wir interpretiern die Halbkugel als "Torte" und schneiden ein "Tortenstück" von 90° heraus (sagen wir im 1.Quadranten). Nun kann man zwar am Nordpol der Torte $\begin{eqnarray} (x_0;y_0)=(0;0) \end{eqnarray}$ wieder eine Tangentialeben anlegen. Diese ist aber nicht mehr in alle Richtungen eine Näherung, denn in Richtung 1.Quadrant ist die Schnittkante des Tortenstückes. Wenn eine Fliege auf der Schnittkante über die Torte krabbelt, so beschrebt der Weg einen Halbkreis. Das bedeutet: Die partiellen Ableitungen existieren. Diese partiellen Ableitungen sind aber nicht mehr stetig, weil der Halbkreis direkt an Schnittfläche des Tortenstücks verläuft. Und genau das ist verboten. Also ist die Torte am Nordpol nicht mehr total diff'bar.
05.07.2022, 14:14	maxmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, also das Beispiel mit der "Torte" is nett. Nur um sicher zu gehen, also du meinst dass die Definition wo die Näherung unbedingt auf dem ganzen Definitionsbereich der Funktion definiert ist eigentlich nicht Konvention ist, oder? Der einzige Grund wieso ich frage ist wirklich weil in unserem Skript totale Differenzierbarkeit als das Anlegen der Tangentialebene für alle Elemente des Definitionsbereichs definiert wurde.
06.07.2022, 10:00	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff "Totale Differenzierbarkeit" bezieht sich immer nur auf einen bestimmten Punkt (x;y), nicht auf den gesamten Funktionsbereich. Das Attribut "total" soll ausdrücken, dass die Funktion an diesem einen Punkt in alle Richtungen eine lineare Näherung besitzt. Es existiert an diesem Punkt also in alle Richtungen eine Tangentialebene. Das Attribut "total" meint also nicht, dass die Funktion an allen Punkten des Definitionsbereiches differenzierbar sein muss. Das ist aber möglich. Beispiel: Die Funktion $\begin{eqnarray} z=\tfrac{x^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ ist am Punkt (0;0) nicht total diff'bar, weil man dort keine Tangentialebene anlegen kann. An allen anderen Punktes (x;y) ist sie aber total diff'bar.

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