Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren

05.07.2022, 09:31

MasterWizz

Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren

Hi Leute

Ich stehe hier vor einer Klausuraufgabe und ich weiß absolut nicht, was hier zu tun ist. Ich denke sogar, dass die Aufgabenstellung an sich zu ungenau ist, die Aufgabe zu lösen. Ich schreibe mal die Aufgabe hier wortgenau auf:

Gegeben seien die Vektoren
$\begin{eqnarray*} b_1=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},\quad b_2=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix},\quad b_3=\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3. \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie ein Orthonormalsystem $\begin{eqnarray*} F: f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(f_1)=L(b_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(f_1,f_2)=L(b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ , sowie die Inverse der Matrix $\begin{eqnarray*} M:=(f_1,f_2,f_3) \end{eqnarray*}$ .

Sollen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ Funktionen sein? Ist $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung? Die Frage ist doch viel zu ungenau gestellt, oder?

05.07.2022, 10:07

Huggy

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RE: Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren

Zitat:

Original von MasterWizz
Bestimmen Sie ein Orthonormalsystem $\begin{eqnarray*} F: f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(f_1)=L(b_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L(f_1,f_2)=L(b_1,b_2) \end{eqnarray*}$ , sowie die Inverse der Matrix $\begin{eqnarray*} M:=(f_1,f_2,f_3) \end{eqnarray*}$ .

Kann es sein, dass hier stehen sollte: $\begin{eqnarray*} f_1=L(b_1),f_2=L(b_1,b_2),f_3=L(b_1,b_2,b_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ steht wohl für Linearkombination und das ist eine lineare Abbildung. Die $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ sind Vektoren. Lösen lässt sich die Aufgabe mit

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmi...erungsverfahren

05.07.2022, 10:59

MasterWizz

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RE: Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren
Leider nein, ich habe die Aufgabe Zeichen für Zeichen abgetippt. Sie ist exakt so formuliert ohne weitere Informationen. Wenn du auch der Meinung bist, dass es so nicht lösbar ist, dann wär ich schon beruhigt. Dozenten machen eben auch mal Fehler.

05.07.2022, 11:24

Huggy

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RE: Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren
Dann ist die Formulierung der Aufgabe wirklich zweifelhaft. Ich vermute allerdings noch immer, dass es schlicht darum geht, aus den Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1, b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ ein Orthonormalsystem $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray*}$ zu machen. Aber ich kann mich natürlich auch täuschen.

05.07.2022, 11:50

MasterWizz

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RE: Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren
In dem Fall wüsste ich allerdings wie es funktioniert. Danke für deine Meinung zu der Aufgabe! smile

05.07.2022, 13:28

Luftikus

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RE: Orthonormalsystem bestimmen aus Vektoren

Zitat:

Original von MasterWizz
Hi Leute Wink

Ich vermute, $\begin{eqnarray*} f_i \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und L ist die lineare Hülle, also

$\begin{eqnarray*} f_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} b_1 \;, .. \end{eqnarray*}$

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