Potenzgesetz beweisen

05.07.2022, 19:36

TNT

Potenzgesetz beweisen

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe versucht, folgendes Potenzgesetz zu beweisen und wollte Euch fragen, ob das ein richtiger Beweis ist oder ob ich Fehler eingebaut habe?
Zu beweisen ist das Gesetz

a^(-b) = 1/(a^b)

Viele Grüße

Meine Ideen:
Ich habe meinen Beweisversuch als Bild hochgeladen

06.07.2022, 00:53

minuss

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RE: Potenzgesetz beweisen
Was hat das mit Potenzgesetzen zu tun? Es geht um eine Definition.

Es ist definiert: a^-b = 1/a^b
Es wird definiert, was ein MINUS-Zeichen im Exponenten bedeutet im Unterschied
zum MINUS als Vorzeichen und Rechenoperation.

06.07.2022, 09:30

G060722

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RE: Potenzgesetz beweisen
a^(-b) = a^(0-b) = a^0*b^(-b) = 1*a^(-b)= 1/a^b

So z.B. käme man umständlich auf die 1.

06.07.2022, 10:09

beuteldachs

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Zitat:

Es ist definiert: a^-b = 1/a^b

Das ist keine Definition/Festlegung.

Das ist z.B. eine Folge aus der Definition $\begin{eqnarray*} a^0:=1 \end{eqnarray*}$ und dem Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} a^{-b}=a^{0-b}=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b} \end{eqnarray*}$

Ebenso ist eine Definition, dass man durch b-maliges Multiplizieren des Faktors a die Potenz $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ festlegt.

Äquivalent kann man die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^{-b}=\frac{1}{a^b} \end{eqnarray*}$ auch mit einer beliebigen a-Potenz multiplizieren und man erhält eine wahre Aussage.
Durch das Multiplizieren mit $\begin{eqnarray*} a^b \end{eqnarray*}$ erhält man wegen $\begin{eqnarray*} a^m \cdot a^n=a^{m+n} \end{eqnarray*}$ als wahre Aussage 1=1.

06.07.2022, 15:31

TNT

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Hallo zusammen,

danke schön für Eure Rückmeldungen smile

Viele Grüße Wink

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Potenzgesetz beweisen

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