Inverse zu Elementen

06.07.2022, 12:46	philis	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse zu Elementen Meine Frage: Sei f(x) := x^3 + x + 1 ein Element von F2[x]. Bestimmen Sie die Inversen zu den folgenden Elementen im Körper R. (i) 1 + x, quer (ii) x2 quer (iii) 1 + x2 quer Meine Ideen: wie beweise ich dies
06.07.2022, 14:03	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse zu Elementen und wir sollen raten, was denn R, quer und x2 sein sollen?
06.07.2022, 14:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann fange ich einmal mit Raten an: quer für Restklassen modulo dem von $\begin{align} f(x) \end{align}$ erzeugten Ideal in $\begin{align} \mathbb{F}_2[x] \end{align}$ .
06.07.2022, 14:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier soll nichts bewiesen sondern etwas berechnet werden. Im Körper $\begin{eqnarray} R=\mathbb F_2[x]/(f(x)) \end{eqnarray}$ kann man Polynome höchstens 2. Grades mit Koeffizienten 0 und 1 miteinander multiplizieren. $\begin{eqnarray} f(x)=x^3+x+1 \end{eqnarray}$ ist das Nullement von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} x^3=x+1 \end{eqnarray}$ . So erkennt man z.B. wegen $\begin{eqnarray} (1+x)(x+x^2)=x+x^2+x^2+x^3=x+x+1=1 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x+x^2 \end{eqnarray}$ invers zu $\begin{eqnarray} 1+x \end{eqnarray}$ ist. (ii) und (iii) geht genauso. Ich rate, das x2 quer eigentlich $\begin{eqnarray} \overline x^2=\overline {x^2} \end{eqnarray*}$ heißen soll.

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