Physik < Mathematik < Logik - Seite 2

13.07.2022, 11:51

Verrain

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Zitat:

Original von Elvis
Wahre Sätze der Mathematik können niemals falsch werden. Mathematik ist zwar historisch entstanden und entwickelt worden, aber ihre wahren Aussagen haben dauerhaft Bestand.

Unendlich ist ein vielschichtiger Begriff. Reelle Zahlen werden durch $\begin{eqnarray*} +\infty, - \infty \end{eqnarray*}$ kompaktifiziert, komplexe Zahlen durch einen Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auf der Zahlen Kugel.

Die Mengenlehre ist die Theorie, die alle Unendlichkeiten erforscht. Mathematische Begriffe in verschwurbelten Zusammenhang zu benutzen ist weder Wissenschaft noch Philosophie sondern Esoterik. Quantentheorien sind physikalische Theorien, sie sind nur für Menschen mit zu wenig Phantasie counter intuitive.

Es ist doch eigentlich ganz einfach. Man schaue sich die Polarkoordinatentransformation von 2D kartesische Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r,\varphi) \end{eqnarray*}$ an. Für $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ wird jedes $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in den Mittelpunkt des Kreises abgebildet. Dort gilt entsprechend $\begin{eqnarray*} (0,0) = (0,\infty) \end{eqnarray*}$

Grüße Big Laugh

Big Laugh

13.07.2022, 12:02

Verrain

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Zitat:

Original von Elvis
Da war noch (mindestens) ein berechtigter Einwand (Verrain, 11.07.), auf den ich bisher noch nicht geantwortet habe. Es geht um die Frage, was ein formales System mit wahr und falsch zu tun hat. Erst einmal nichts, denn das formale System behandelt die Syntax und nicht die Semantik.

Aber: Gödel und ich interessieren uns hauptsächlich für formale Systeme, die logisch (wahr/falsch) und mathematisch (Gödel :Arithmetik, Elvis :Zahlentheorie) relevant sind. Also betrachten wir ganz bestimmte formale Systeme zusammen mit einer Interpretation ihrer ableitbaren Sätze als Sätze über Zahlen. Aus diesem Grund sagen wir, dass ein Satz beweisbar ist, wenn er formal abgeleitet werden kann. Weil wir in diesem Zusammenhang von einem widerspruchsfreien formalen System ausgehen, sind beweisbare Sätze wahr. Ist die Negation eines Satzes ableitbar, so ist der Satz falsch.

Formal unentscheidbare Sätze sind wahr. Liegt das an tertium non datur? Wenn A und nonA nicht ableitbar sind, ist jedenfalls genau einer der beiden Aussagen wahr.

Wenn du nun aber sagst, mathematisch relevant ist nur eine Teilmenge möglicher formaler Systeme, dann scheint es mir andere formale Systeme zu geben, die eine andere Art von Relevanz haben (als mathematische).

z.B. ein dogmatisches System (meiner Ansicht nach auch ein formales System) um eine Religion zu begründen.

Entsprechend muss die Philosophie/Logik über mehr nachdenken, als die formalen Systeme die mathematisch relevant sind, was ich so interpretiere, dass die Philosophie/Logik den Überbau bildet, in dem sich die Mathematik einbettet.

13.07.2022, 14:07

Elvis

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Logik sehe ich als Teildisziplin der Mathematik an, weil wir mit mathematischen Methoden in kurzer Zeit wesentlich mehr zustande gebracht haben als jede Philosophie in Jahrtausenden. Ich gebe gerne zu, dass formale Systeme an sich interessant sind, nicht nur in ihrer Relevanz für Logik und Mathematik - mein Blick ist wegen Gödel manchmal ein wenig eingeschränkt. Genau wie du erkenne ich an, dass Mathematik und allgemeiner jede Wissenschaft nur ein Teil des menschlichen Denkens darstellt, Philosophie geht weit darüber hinaus, denn sie befasst sich mit allem, was denkbar ist..

14.07.2022, 09:27

Justice

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Zitat:

Original von Elvis
Wahre Sätze der Mathematik können niemals falsch werden. Mathematik ist zwar historisch entstanden und entwickelt worden, aber ihre wahren Aussagen haben dauerhaft Bestand.

Ich behaupte ja auch nicht was anderes, diese art von unendlichkeit die wir in der Mathematik definiert haben. sind und bleiben so, wie sie sind. Aber es kann noch mehr geben als das... es könnte sein dass es nur nur eine Variante ist, ein Teilgebiet...

Zitat:

Original von Elvis
Unendlich ist ein vielschichtiger Begriff. Reelle Zahlen werden durch $\begin{eqnarray*} +\infty, - \infty \end{eqnarray*}$ kompaktifiziert, komplexe Zahlen durch einen Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ auf der Zahlen Kugel.

Ich dachte die Zahlenkugel ist nur mathematische Spielerei und ein Gedankenexperiment?

Zitat:

Original von Elvis
Die Mengenlehre ist die Theorie, die alle Unendlichkeiten erforscht. Mathematische Begriffe in verschwurbelten Zusammenhang zu benutzen ist weder Wissenschaft noch Philosophie sondern Esoterik. Quantentheorien sind physikalische Theorien, sie sind nur für Menschen mit zu wenig Phantasie counter intuitive.

Niels Bohr hat mal gesagt: "Wer über die Quantentheorie nicht entsetzt ist, kann sie unmöglich verstanden haben."
und
Richard Feynman sagte: "Wer glaubt, die Quantentheorie verstanden zu haben, hat sie nicht verstanden."...

Das gleiche gilt auch für Mathematiker die Glauben die Unendlichkeit wäre einfach zu Beschreiben und alles definiert und Gegeben....

14.07.2022, 13:53

Elvis

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Was nicht endlich ist, ist unendlich. Mehr unendlich geht logisch nicht. Also geht es nur noch um das Verständnis des unendlichen, nicht mehr um die Entdeckung. Man kann mathematische Theorien immer weiter entwickeln und verbessern, man kann sie immer besser verstehen, aber bezweifeln kann man den festen Bestand einer mathematischen Theorie nicht.

So ähnlich verstehe ich auch, was die Physiker früher mal über die Quantentheorie gesagt haben. Man kann physikalische Theorien immer weiter entwickeln und verbessern, man kann sie immer besser verstehen, aber bezweifeln kann man den festen Bestand einer Theorie nicht, außer wenn die Natur einen Teil einer physikalischen Theorie falsifiziert.

Gedankenexperiment in der Mathematik ? Merkwürdige Vorstellung. Die Zahlenkugel ist genau so real wie die komplexe Ebene. https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/Loeschenbrand.pdf

14.07.2022, 14:43

Justice

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Zitat:

Original von Elvis

Gedankenexperiment in der Mathematik ? Merkwürdige Vorstellung. Die Zahlenkugel ist genau so real wie die komplexe Ebene. https://www.asc.tuwien.ac.at/~herfort/BAKK/Loeschenbrand.pdf

Dann ist in der Komplexenzahlenebene -oo = +oo ? verwirrt

verwirrt

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14.07.2022, 18:19

Elvis

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Nein.
Jede reelle Zahl ist endlich. Reelle Zahlen kann man als Punkte auf einer Geraden ansehen. Diese Gerade heißt reelle Gerade und ist links und rechts unbegrenzt. Möchte man Punkte haben, die kleiner als jeder reelle Punkt bzw. größer als jeder reelle Punkt sind, dann nimmt man sich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ zu den reellen Punkten dazu.
Jede komplexe Zahl ist endlich. Komplexe Zahlen kann man als Punkte in einer Ebene ansehen. Diese Ebene heißt Gaußsche Ebene und ist in alle Richtungen unbegrenzt. Vermöge der Umkehrung der stereografischen Projektion kann man komplexe Zahlen auch als Punkte auf einer Kugel ohne Nordpol ansehen. Um die Kugel vollständig zu machen, nimmt man den Nordpol dazu und nennt ihn $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , die vollständige Kugel heißt Riemannsche Zahlenkugel (obwoh $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ keine Zahl ist).
Diese drei unendlichen Punkte sind paarweise verschieden. Zwei Punkte liegen "an den Rändern" der reellen Geraden (obwohl eine Gerade nicht wirklich "Ränder" hat), und ein Punkt liegt auf der Riemannschen Zahlenkugel. Die drei unendlichen Punkte sind keine Zahlen, man kann also nicht einfach mit ihnen rechnen wie mit reellen oder komplexen Zahlen. Praktischerweise gibt es aber in einigen sinnvollen Fällen zusätzlich Rechenregeln für die unendlichen Punkte.

15.07.2022, 09:17

Justice

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Wieso kann man aus der komplexen Zahlenebene eine Kugel machen, aber aus der reellen Zahlengerade kein Ring mit auch einem "Punkt" $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ?

Bei der komplexen Zahlenebene kann man ja auch die 4 unendlichkeiten belassen wie sie sind, reell / imagnär jeweils plus / minus...

Und ja, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine Zahl, sondern ein Symbol für etwas.

15.07.2022, 10:38

Elvis

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Man kann vieles tun und vieles lassen. Die reelle Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die ja nichts anderes ist als die komplexe Ebene $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , kann man z.B. für die projektive Geometrie noch durch eine unendliche Gerade ergänzen. Was man mit einem Punkt $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ für die reellen Zahlen und 4 unendlichen Punkten für die komplexen Zahlen anfangen kann, weiß ich nicht, bitte erleuchte mich.

Die beiden Kompaktifizierungen für reelle und komplexe Zahlen, die ich erwähnt habe, sind sinnvoll für die Analysis (Theorie der reellen Zahlen und Funktionen) und für die Funktionentheorie (Theorie der komplexen Zahlen und Funktionen).

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist kein Symbol für etwas (Bestimmtes), sondern bezeichnet in jeder Theorie das, was man in dieser Theorie damit bezeichnet. Je nach Theorie gelten immer wieder andere Regeln für $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , da muss man logisch und sprachlich sehr vorsichtig sein, sonst bringt man Sinn und Unsinn durcheinander.

Anmerkungen für unseren Physiker Verrain: Die Gruppe der Möbiustransformationen $\begin{eqnarray*} \mathbb S\to \mathbb S, z\mapsto w=\frac {az+b}{cz+d},a,b,c,d\in \mathbb C,ad-bc=1 \end{eqnarray*}$ , das sind genau die bijektiven analytischen Transformationen der Riemannschen Sphäre, ist isomorph zur Gruppe der Lorentztransformationen unserer Raumzeit. Siehe Penrose/Rindler "Spinors and Space-Time" Vol.1 "Two spinor calculus and relativistic fields" 1984 und Vol.2 "Spinor and twistor methods in space-time geometry" 1986.

Alles das sind keine formalen Systeme sondern mathematische und physikalische Theorien. Wir sind keine formalen Systeme und leben nicht in einem formalen System, wir leben als biologische Entitäten kurzzeitig in einem real existierenden Universum, wir denken (manchmal logisch) darüber nach und reden (informell) darüber.

15.07.2022, 15:40

Justice

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Okay ich blicke noch nicht ganz durch

Wenn: $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-} } 1/x = -\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } 1/x = +\infty \end{eqnarray*}$

Hingegen wenn: $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{-} } 1/x = \lim_{x \to 0^{+} } 1/x = \infty \end{eqnarray*}$

? Ist das korrekt? verwirrt

verwirrt

geschockt

15.07.2022, 18:13

Elvis

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Für reelle x kann man das so stehen lassen, denn dann sind diese beiden links- und rechtsseitigen Grenzwerte definiert, während kein Grenzwert definiert ist. Für komplexe z macht es keinen Sinn, reelle x zu betrachten, weil man dabei nichts Neues lernt.

Die komplexe Funktion 1/z divergiert bestimmt gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , egal aus welcher komplexen Richtung z gegen 0 konvergiert. Das z muss nicht auf einer Geraden gegen 0 konvergieren, in der Ebene kann man dafür einen beliebigen Weg in Richtung 0 wählen. Was sollte dann $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ für eine Bedeutung haben, wenn der stetige Weg z.B. spiralförmig um den Nullpunkt kreist und sich dem Nullpunkt beliebig annähert. Es wäre sicher nicht sehr elegant, wenn dann bei kleinsten Abweichungen von 0 dauernd unstetige Sprünge zwischen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ stattfinden.

Merke: weil komplex nicht so einfach ist wie reell, nennt man es komplex. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ist das Verhalten der komplexen Funktion 1/z deutlich einfacher als das Verhalten der reellen Funktion 1/x. So ist das im Leben oft, wenn die Mathematik komplizierter wird, werden die Ergebnisse einfacher. Definiert man auf der Riemannschen Zahlenkugel (aber nur dort und nicht im Komplexen und schon gar nicht im Reellen) $\begin{eqnarray*} \frac 1 0=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\infty}=0 \end{eqnarray*}$ , dann passt alles wunderschön zusammen und wird noch anschaulicher und einfacher. Das heißt nicht, dass man die Zahl $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ durch die Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder die Zahl $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ dividieren dürfte (die Zahl $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gibt es ja bekanntlich nicht), hier werden Divisionen von Punkten definiert. Und diese Divisionen definieren umgekehrt nicht die Multiplikation $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty =1 \end{eqnarray*}$ .

18.07.2022, 15:27

Verrain

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Zum Thema "Ein formales System kann keine Aussagen über die eigene Wiederspruchsfreiheit machen" übrigens folgendes Zitat aus Dirk Hoffmans, Grenzen der Mathemtatik (S.50):

Zitat:

Was bedeutet der zweite Unvollständigkeitssatz für die Mathematik? Gödel und von Neumann hatten gezeigt, dass der Beweis der Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems, das die Zahlentheorie umfasst, nicht mit den Mitteln des Systems selbst geführt werden kann. Hieraus folgt unmittelbar, dass sich die Widerspruchsfreiheit der Mathematik nicht mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik selbst beweisen lässt.

Somit kann S eben nicht Aussagen über gültigkeit der eigenen Axiome und Buchstaben machen. Es braucht ein anderes formales System S'.

18.07.2022, 18:02

Elvis

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Gödel: Es gibt kein formales System S der Arithmetik, das seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann.
Hoffmann: Es gibt keine gewöhnliche Mathematik, die ihre eigene Widerspruchsfreiheit beweisen kann.
Elvis: Es gibt formale Systeme der Zahlentheorie, die Aussagen über sich selbst beweisen können. Es gibt kein formales System der Zahlentheorie, das alle wahren Aussagen über sich selbst beweisen kann.

26.07.2022, 15:47

Verrain

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Mir leuchtet noch nicht ein, warum unbeweisbare Aussagen wahr sein müssen. Denn letztendlich würde dann aus dem Beweis der Unbeweisbarkeit der Aussage A folgen, dass A gilt und somit wäre A bewiesen. Aber gleichzeitig heißt es ja A ist unbeweisbar....

(Ich komme nur gerade nochmal darauf zurück, weil der Hoffmann das gleiche wie du schreibt (nämlich das aus der unbeweisbarkeit folgt, dass die A wahr ist)

26.07.2022, 15:56

adiutor62

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Am Rande:
Heute vor 97 Jahren starb Gottlob Frege:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gottlob_Frege

26.07.2022, 16:19

Elvis

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Eine falsche Aussage ist nicht beweisbar, wäre sie beweisbar, dann wäre sie wahr.
Eine wahre Aussage, die nicht bewiesen werden kann, ist eine wahre Aussage. Sie kann nicht bewiesen werden, und weil ihre Negation falsch ist, kann auch ihre Negation nicht bewiesen werden.
Wenn man beweisen könnte, dass eine wahre Aussage unbeweisbar ist, dann hätte man einen Beweis. Sie wäre beweisbar, also nicht unbeweisbar, also kann es keinen Beweis für die Unbeweisbarkeit einer wahren Aussage geben.

27.07.2022, 14:19

Verrain

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Der Hoffmann schreibt:

Zitat:

b) Nehmen Sie an, die Goldbach’sche Vermutung sei mit den Mitteln der gewöhnlichen Mathematik unbeweisbar. Lässt das Ergebnis in diesem Fall einen Rückschluss auf die Wahrheit oder die Falschheit der Vermutung zu?

Ja. Wäre sie falsch, dann wäre sie widerlegbar. Ist sie unbeweisbar, so muss sie wahr sein.

Nun gibt es doch durchaus z.B. die Kontinuumshypothese oder das Auswahlaxiom, denen nachgewiesen wurde, dass Sie uenentscheidbar sind.

Sind Sie damit automatisch wahr? Oder gilt dies nur, weil Sie nach der Forcing-Methode in diesem Fall als Axiom zum formalen System hinzugefügt werden können und somit nach Definition wahr sind?

27.07.2022, 18:44

Elvis

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Ich vermute, dass Axiome oder Aussagen, die unabhängig von einem Axiomensystem eines formalen Systems sind, keine Sätze der Theorie sind, die durch die Axiome des formalen Systems formuliert werden. Beispiele dafür sind die Kontinuumshypothese und das Auswahlaxiom und auch das Parallelenaxiom der Geometrie. Unabhängig von einer Theorie heißt, dass ich die Theorie zu (mindestens) zwei verschiedenen Theorien erweitern kann, indem ich ein unabhängiges Axiom oder seine Negation zur Theorie hinzunehme.
So entsteht aus der euklidischen Geometrie ohne Parallelenaxiom
1. die euklidische Geometrie durch Hinzunahme des Parallelenaxiom (zu jedem P nicht in g genau eine Parallele zu g durch P)
2. die elliptische Geometrie durch Hinzunahme einer Negation (zu jedem P nicht in g keine Parallele zu g durch P)
3. die hyperbolische Geometrie durch Hinzunahme einer anderen Negation (zu jedem P nicht in g unendlich viele Parallelen zu g durch P)

Eine (formale) Aussage eines formalen Systems ist etwas anderes als eine (umgangssprachliche) Aussage einer oder mehrerer mathematischen Theorien. In einem (reichen) formalen System gibt es unbeweisbare, unentscheidbare wahre Aussagen (sagt Gödel). In einer mathematischen Theorie gibt es mathematische Aussagen, über die die Theorie nichts zu sagen hat. Zum Beispiel sagt die reelle Analysis nichts über die $\begin{eqnarray*} \sqrt {-1} \end{eqnarray*}$ . Der Satz $\begin{eqnarray*} \sqrt {-1}^2=-1 \end{eqnarray*}$ ist ein Satz der Theorie der komplexen Zahlen. Diese mathematische Aussage wird in der Analysis genau so wenig wahr wie die mathematische Aussage $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1}^2\neq -1 \end{eqnarray*}$ .

(Ich bitte KollegeInnen, die noch folgen können, mich zu korrigieren, wenn ich mich irre. Ich habe hier ein wenig fabuliert, glaube aber, was ich sage - bis jemand etwas besser weiß.)

27.07.2022, 23:33

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Elvis
Unabhängig von einer Theorie heißt, dass ich die Theorie zu (mindestens) zwei verschiedenen Theorien erweitern kann, indem ich ein unabhängiges Axiom oder seine Negation zur Theorie hinzunehme.

So ist es.

Zitat:

Nun gibt es doch durchaus z.B. die Kontinuumshypothese oder das Auswahlaxiom, denen nachgewiesen wurde, dass Sie uenentscheidbar sind.

CH ist unabhängig von ZFC (d.h. sowohl ZFC+CH als auch ZFC+~CH sind konsistent relativ zu ZFC). Das Auswahlaxiom AC ist unabhängig von ZF (d.h. sowohl ZF+AC=ZFC als auch ZF+~AC sind konsistent relativ zu ZF).

28.07.2022, 14:24

Elvis

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Danke zweiundvierzig, dann ist alles klar.

@Verrain
In der Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften gab es immer wieder radikale Umbrüche, die notwendig waren, weil das Verständnis noch nicht weit genug entwickelt war.
Natürliche Zahlen, Einführung der Null - "großes Problem der Division durch Null, das Unendliche droht uns zu verschlingen". Ganze Zahlen und rationale Zahlen werden langsam akzeptiert.
Rationale Zahlen und "irrationale" Zahlen, die alten Griechen haben noch zwischen (rationalen) Zahlen und (geometrischen) Proportionen unterschieden Erst als die reellen Zahlen im 19. Jahrhundert verstanden waren, war dieses Problem gelöst.
Reelle und "imaginäre" Zahlen wurden notwendig, um Gleichungen zu lösen, "der Untergang des Abendlandes". Auch das wurde im 19. Jahrhundert verstanden und führte zur allgemein anerkannten Funktionentheorie.
Mengenlehre und Logik um 1900. "Die Grundlagenkrise der Mathematik, Antinomien und Paradoxa, noch ein drohender Weltuntergang." Im 20 Jahrhundert hat sich die Aufregung gelegt und die axiomatisierte Mengenlehre wurde zur Grundlage der Mathematik.
Gödels Unvollständigkeitssätze hat lange Zeit kaum jemand verstanden ausser einer Gruppe von Mathematikern, die sich ernsthaft damit beschäftigt haben. Heute versteht kaum noch jemand den Beweis, der zu einer Zeit entstand, als die heutige Sprache der Logik noch nicht vorhanden war. Ich habe einige Bücher zu Gödel studiert, die nur Blödsinn verbreiten. Hoffmann hat da eine wichtige Lücke geschlossen, denn er hat den Originalbeweis auf moderne Weise nachvollzogen und kommentiert. Alle diese Umbrüche in der Mathematik haben vorher existierende Paradoxa gelöst, indem sie erst das Verständnis für die Probleme hergestellt haben und dann die Probleme lösten.

Das Problem sind nicht die Theorien sondern ihre Interpretation. Das eigentliche Problem ist, dass man nur verstehen kann, was Gödel sagt, wenn man Gödel versteht, nicht wenn man nur über Gödel liest.

Ähnliche Umbrüche in der Physik, Einsteins Relativitätstheorie ist besser als Newtonsche Physik, wurde aber angeblich "nur von 10 Physikern um 1920 verstanden". "Normale Menschen" glauben nicht daran, weil sie oft nur von dem Zwillingsparadoxon, Zeitdilatation, Längenkontraktion und anderen Vorgängen hören, "die der menschlichen Vernunft widersprechen".
Quantenmechanik, Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik, Quantenfeldtheorie - alles großartige Theorien, die die Wirklichkeit bestens beschreiben. "Glaubt keiner, versteht keiner, kann ja gar nicht sein, Welle oder Teilchen, völlig verrückte Theorie."

Das Problem sind nicht die Theorien sondern ihre Interpretation. Auch heute noch werden andauernd in populärer Literatur angebliche Probleme und Paradoxa und das Ungeheuer der Unendlichkeit beschworen. Ein typisches Beispiel, das viel mehr zur Verwirrung beitragen soll als zur Aufklärung: https://www.youtube.com/watch?v=3pqJt4fwgT0 . Dem Kommentar von Gerard Schnueriger ("Ist doch Quatsch, Quantenphänomene mit makrokopischen Objekten zu erläutern, so ein Käse.") kann ich nur beipflichten.

Meine Meinung: Die mathematischen und die physikalischen Theorien sind gut, man muss sie nur verstehen, und das ist mit etwas gutem Willen unter geeigneter Anleitung möglich.

04.08.2022, 14:43

Justice

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Zitat:

Original von Elvis
Wenn man beweisen könnte, dass eine wahre Aussage unbeweisbar ist, dann hätte man einen Beweis.

Da gibt es noch einen anderen Wiederspruch, man weiss ja zubeginn nicht, ob sie wahr ist oder nicht.

Und nur weil man weiss, dass etwas mit sicherheit nicht beweisbar ist, ist das noch keine Aussage über: es ist die These falsch oder wahr.

Man könnte ja herrausfinden/belegen, das die Riemann Hypothese unbeweisbar ist, aber torztdem wahr?

04.08.2022, 18:38

Elvis

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Wenn man eine Maschine unendlich lange laufen lässt und sie eine zweispaltige Liste der wahren und falschen Aussagen anfertigt, dann ist nach unendlich langer Zeit die Spalte der falschen Aussagen vollständig und (nach Gödel) die Spalte der wahren Aussagen unvollständig. Anders gesagt, unentscheidbare Aussagen sind wahr und unbeweisbar.

Klar ist, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, aber wir leben nicht lange genug, um die ganze Wahrheit zu erfahren. Wer an das ewige Leben glaubt, hat einen kleinen Vorteil, muss aber unendlich lange auf eine Antwort warten, wenn er wissen will, ob eine unbeweisbare Aussage wahr oder falsch ist.

Bei Douglas Adams sagt der Computer, wann er eine Antwort auf die große Frage geben wird. In unserer Welt ist das nicht möglich, denn das Halteproblem für Turingmaschinen ist nicht lösbar.

27.03.2025, 11:04

Justice

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Hallo liebe Matheboarder

Habe zu diesem Thema evtl. nochmals ein Argument für "Omni-Logik" steht über "Mathematik". (Wie halt im Thema-Title: "Mathematik < Logik")

Die Idee:
In meiner Idee gehört mathematische Logik (und dann in ferner Zukunft mal "Omni-Logik" (diese Erklärt wie aus absolut Nichts, Alles entstehen kann und dass $\begin{eqnarray*} 0=\pm \infty \end{eqnarray*}$ )) nicht zur Mathematik.

Meine Frage:
Kann man die Gödelschen Unvollständigkeitssätze auch ohne mathematische Logik nachbilden?
Oder kann man die Resultate daraus ohne Logik beweisen?
- Wenn ja, hat das schon jemand gemacht? Wenn ja, wer? Wenn noch keiner. Wieso nicht?
- Wenn nein, wäre für mich ein Indiz, die mathematische Logik die wir heute kennen, ein Bestandteil ist der noch nicht greifbaren "Omni-Logik"

Reminder Gödelschen Unvollständigkeitssätze :
Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in allen hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen unbeweisbare Aussagen gibt. Der zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können.

27.03.2025, 12:03

Elvis

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Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze hat Kurt Gödel in den 1930er Jahren mit mathematischer Logik und einigen von ihm erfundenen Tricks bewiesen. Der weitgehend vollständige und schon damals anerkannte Beweis konnte später mit neuen Verfahren sehr viel einfacher bewiesen werden. Dazu gehören z.B. die Theorie der Berechenbarkeit und die Theorie der Turingmaschinen. Ganz allgemein hat die Beweistheorie (ein Teilgebiet der mathematischen Logik) in den letzten hundert Jahren wesentliche Fortschritte gemacht, und es gibt verschiedene Beweise für die Gödelschen Unvollständigkeitssätze. Demnach gilt Beweistheorie < Logik < Mathematik.

27.03.2025, 12:53

Justice

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Hallo Elvis! Danke für Deine Antwort.

Ein paar Fragen dazu:

Turing-Maschinen enthalten alle ja auch Logik oder basieren sogar fundamental auf deren, oder?
Konnte man den nun die Gödelschen Resulate ohne math. Logik reproduzieren?
Ist das wirklich so, das Teilgebiete das grosse Ganze beweisen können? Z.b kann Chemie alleine die Quantenmechanik beweisen? Oder kann Biologie alleine die Chemie erklären? (Ich denke nein?)
Dies ist wahrscheinlich eine Philosophische Frage? Oder wo ist mein Überlegungsfehler?

27.03.2025, 13:13

Elvis

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1. Turingmaschinenn sind Konstrukte der Mathematik und Informatik. Man kann Maschinen auch bauen, wenn man ihre Logik nicht verstanden hat.
2. Die Unvollständigkeitssätze sind Sätze der Beweistheorie, also Sätze der Logik. Ohne Logik kann man sie nicht einmal formulieren. Jeder Beweis benötigt ein bißchen Logik, aber man führt und formuliert Beweise meistens informell und nicht auf logischer Grundlage. Wenn man alles streng logisch und vollständig beweisen will, dann kommt man in der Mathematik nicht weit.
3. Die Logizisten haben daran geglaubt, dass man die gesamte Mathematik auf Logik aufbauen kann. Ich glaube das nicht. Mittels Beweistheorie kann man mathematische Beweise zum Gegenstand der mathematischen Untersuchung machen. Mittels Logik und Mengenlehre hat man versucht, die gesamte Mathematik zu erfassen - das ist auch weitgehend gelungen, aber die Mengenlehre ist so kompliziert, dass man sie nicht vollständig verstehen kann. Man soll die Teile nicht unterschätzen, da steckt mehr drin, als man auf den ersten Blick sehen kann. Man soll die Teile aber auch nicht überschätzen, das Ganze kann immer noch mehr enthalten.

28.03.2025, 15:20

Elvis

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Ein bisschen makaber ist die Geschichte der Logizisten Gottlob Frege und Bertrand Russell. Beide wollten die gesamte Mathematik zu einem Teilbereich der Logik machen.
Frege hat in seiner "Begriffsschrift" Grundlagen der modernen mathematischen Logik erfunden, insbesondere der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik. Dies hat er dann auf die Arithmetik angewendet. Seine Schriften kann man auch heute noch - mit nicht zu viel Mühe und mit viel Genuss - lesen und verstehen. (https://www.amazon.de/Gottlob-Frege-Begr...e/dp/3662450100
Das Buch von Matthias Wille enthält nicht nur historische Anmerkungen, intelligente und verständliche Kommentare, sondern auch einen vollständigen Nachdruck der "Begriffsschrift" ! )
Dann kam Russell mit seiner Antinomie, einer banalen Randnotiz zur naiven Mengenlehre, und hat Frege damit erheblich gestört und verunsichert. Der Logizismus von Whitehead und Russell gipfelt in dem aus heutiger Sicht ziemlich überflüssigen Mammutwerk "Principia Mathematica", dessen Lektüre nicht empfehlenswert ist.

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