Physik < Mathematik < Logik

Neue Frage »

Justice Auf diesen Beitrag antworten »
Physik < Mathematik < Logik
Hallo zusammen!

Einleitung:
Man sagt ja Mathematik steht über der Physik, weil unsere Physik wie wir sie her erleben könnte ausserhalb von unserem Universum und Raum und Zeit anderes aussehen.

Hingegen Mathematik ist System- und Konzeptunabhängig und überall allgemein gültig.

Aber dennoch sagen wir:
Die Mathematik baut auf Axiome auf. Die Axiome wurden so gewählt, dass innerhalb des Axiomensystems logische Schlüsse widerspruchsfrei gezogen werden können. Diese Axiome können nicht bewiesen werden und haben nichts mit Wahrheit zu tun.

Meine Frage nun:
Gibt es eine übergeordnetes Gebiet, das über der Mathematik steht, z.B. eine Art "Grundlegende Logik von allem".

Als Beispiel: wie könnten man Erlären wie aus "Absolut nichts", "etwas" enstehen kann.


Man könnte in dieser "Grundlegende Logik von allem", in mathematische Ausdrücken beschrieben, erkennen, dass: 0="unendlich" ist.

Begriffs-Definitionen:
"Absolut nichts": Absolut gar nichts, keine Physik, keine Mathematik, keine Dimensionen, keine Freiheitsgrade, usw.
"etwas": z.B. unser Univsersum , mit Quantenmechanik und Raumzeit.
"unendlich": Eine Art von Unendlich, welches wir noch nicht kennen, als Beispiel eine erweiterte Form von: +/- unendlich von reell und imaginär als ein Symbol, siehe Riemannsche Zahlenkugel.


Aus dieser "Grundlegende Logik von allem" müsste man auch die mathematischen Axiome ableiten können... oder Begründen oder Beschreiben können.
sowie Physik mit Mathematik...

Was denk ihr?
Gruss
Nureis
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Philosophie ist die Kunst des Denkens, sie umfasst alle Naturwissenschaften und alle Geisteswissenschaften. Philosophen wissen und erklären alles und das Gegenteil von allem.
Wissenschaftler wissen alles, was sie beweisen können und halten alles für möglich, was plausibel und noch nicht widerlegt ist.
Politiker wissen nichts und behaupten alles, was ihnen nützt.
Der Mensch an sich weiß nichts und glaubt alles.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das wirklich nur Philosophie?

Oder übergeordnete Logik?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In der Antike haben Philosophen sich an der Logik versucht und sind daran gescheitert. Das ist ganz normal bei Philosophen, denn sie sind ihrer Zeit immer weit voraus in dem Sinn, dass sie versuchen, Probleme zu erkennen und zu lösen, für die die Menschen noch nicht reif sind.
In der frühen Neuzeit haben Linguisten, Psychologen und andere Wissenschaftler sich an der Logik versucht und sind daran gescheitert. Das ist ganz normal bei Wissenschaftlern, die noch nicht die geeignete Mathematik zur Verfügung haben, die man braucht, um spezielle Probleme zu beschreiben und zu lösen.
In der Neuzeit haben Mathematiker die Logik zu einem Teilgebiet der Mathematik gemacht. Damit sind wesentliche Probleme formuliert und gelöst worden. Das ist ganz normal bei Mathematikern, denn Mathematik ist deshalb die Königin aller Wissenschaften, weil sie fast alle Probleme lösen kann, mit denen sie sich beschäftigt.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Als Beispiel: wie könnten man Erlären wie aus "Absolut nichts", "etwas" enstehen kann.

Es gibt kein absolutes Nichts.

https://de.wikipedia.org/wiki/Vakuumfluktuation

https://www.weltderphysik.de/gebiet/teil...mfluktuationen/
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Grundsätzlich würde ich erst einmal behaupten, dass man die "Mathematik" und "Physik" nicht so einfach hierarchisch betrachten darf. Die Mathematik ist eine reine Geisteswissenschaft, und unter diesen darf man sie wahrlich auch als "Königin" bezeichnen. Die Physik ist dagegen der elementarste Sektor unter den Naturwissenschaften und steht somit vollkommen separat neben der Mathematik. Die Physik bedient sich der Mathematik, um damit ihre Gesetze zu beschreiben und ist damit äußerst erfolgreich.

Bei der Physik hingegen kann man eher hierarchische Strukturen ableiten, die sich aber dann (wertfrei) allein auf die Skalierung bzw. Komplexität beziehen, wie z.B.

Physik - Chemie - Biologie - Lebewesen - Gesellschaftssysteme

Die "Mathematik" kann m.E. unisono nicht aus sich selbst eine "Physik" erfinden. Die Physik kann aber wiederum die Naturgesetze fabelhaft mit ihrer mathematischen Sprache erklären. Umgekehrt wird die Mathematik wahrscheinlich nie beweisen können, ob letztendlich die Physik unbedingt und ausschließlich der Mathematik bedarf.
Zur Zeit sieht es aber noch gut aus, dass die Physik von der Mathematik als dauerhaften Untermieter sehr, sehr abhängig ist und von ihr ziemlich profitiertAugenzwinkern - Eben ein Super-Team, das in dieser faszinierenden WG harmoniert!

Gruß
Conny
 
 
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Ich würde auch sagen, dass das thema eher in die Philosophie gehört.

Zitat:
Original von Justice
Hingegen Mathematik ist System- und Konzeptunabhängig und überall allgemein gültig.

Woher weiß man das? Man weiß es nicht.
Mathematik ist genauso menschengemacht und in menschlichen Gehirnen erdacht, wie alles andere.
Insofern ist überhaupt nicht sicher, ob "überall allgemein" die gleiche Mathematik "gültig" ist.

Warum sind die natürlichen Zahlen für uns einfach?
Warum gibt es die völlig unverständlichen irrationalen Zahlen?
Vielleicht gibt es eine andere Mathematik, die ganz anders startet und wo sich z.B. PI ganz anders ergibt? Wo es keine "natürlichen" und "irrationalen" Zahlen gibt?
Wir können uns das nur nicht vorstellen, mit unseren Gehirnen.
Ich bin mir nicht sicher, ob unsere Metallplatte mit dem eingeritzten Satz des Pythagoras und dem Kreisumfang von allen Aliens leicht (oder überhaupt) erkannt würde.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Zitat:
Original von Conny_1729
Die Physik bedient sich der Mathematik, um damit ihre Gesetze zu beschreiben und ist damit äußerst erfolgreich.


Aus Sicht eines Mathematikers ist das genau umgekehrt. Augenzwinkern Die physikalische Welt ist für die Mathematik ein willkommenes Anwendungsbeispiel.
Die (und da stimme ich willyengland ausdrücklich zu) menschengemachte Mathematik ist von der Physik unabhängig (insofern hat auch Conny_1729 völlig recht).
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein interessantes Beispiel für eine andere Mathematik gibt der Artikel Synthetic differential geometry von Michael Shulman. Darin muss von der gewöhnlichen Logik in die intuitionistische gewechselt werden, um ein neu erdachtes Konzept der Definition von Differentialrechnung fortentwickeln zu können.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

Die Physik benutzt die Mathematik um die Naturgesetze in eine formale Sprache / in ein formales System zu bringen.

Die heutige Mathematik ist so konstruiert, dass sie auf der Mengenlehre aufbaut. Diese wird axiomatisch angenommen und daraus der Rest der Mathematik aufgebaut.

Die Mengenlehre ist somit ein grundlegendes formales System:
https://de.wikipedia.org/wiki/Formales_System

Ein formales System S kann keine Aussagen über sich selbst machen. Das wäre so als würdest du einen Hammer haben und mit diesem Hammer einen Nagel in den gleichen Hammer schlagen wollen. Will sagen, du kannst nicht mit dem Untersuchungswerkzeug das Untersuchungswerkzeug untersuchen.

Was jedoch möglich ist, ist mit einem anderen formalen System S' das formale System S zu untersuchen.

Gödel hat dies geschickt gemacht um zum Beispiel zu zeigen, dass egal wie die Mathematik konstruiert wird, es immer abgeleitete Sätze geben wird, die weder "wahr" noch "falsch" sind.

Von Wahrheit würde ich hier aber nicht sprechen, ich würde eher die Worte "konsistent" oder "nicht konsistent" verwenden. Gemeint ist, dass nicht festgestellt werden kann, ob das formale System "korrekt" angewendet wurde oder ob eine Wiederspruch erzeugt wurde.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das wäre so als würdest du einen Hammer haben und mit diesem Hammer einen Nagel in den gleichen Hammer schlagen wollen.

Würde zudem nur bei einem Holzhammer gehen oder in den Holz-Stiel eines Hammers.

PS:
In der Quantenwelt soll man nichts ausschließen.
Dort gilt der Zeitbegriff nur bedingt.
Vlt. kann der Hammer Hammer und Nagel zugleich sein.
Ein hammerharter Nagel oder ein nagelharter Hammer! Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Verrain
Die Mengenlehre ist somit ein grundlegendes formales System:
https://de.wikipedia.org/wiki/Formales_System

Mathematik ist kein formales System, Mengenlehre ist kein formales System. Es gibt formale Systeme, die Teile der Mathematik wie z.B. die Axiome und Regeln der Mengenlehre festlegen. Das formale System ist immer nur der Ausgangspunkt einer Theorie. Eine Theorie umfasst nicht nur das formale System sondern alle Aussagen, die in der Theorie wahr sind.

Zitat:
Original von Verrain
Ein formales System S kann keine Aussagen über sich selbst machen.

Gödel hat gezeigt, wie ein formales System der Zahlentheorie Aussagen über sich selbst machen kann.

Zitat:
Original von Verrain
Was jedoch möglich ist, ist mit einem anderen formalen System S' das formale System S zu untersuchen.
Gödel hat dies geschickt gemacht um zum Beispiel zu zeigen, dass egal wie die Mathematik konstruiert wird, es immer abgeleitete Sätze geben wird, die weder "wahr" noch "falsch" sind.
Von Wahrheit würde ich hier aber nicht sprechen, ich würde eher die Worte "konsistent" oder "nicht konsistent" verwenden. Gemeint ist, dass nicht festgestellt werden kann, ob das formale System "korrekt" angewendet wurde oder ob eine Wiederspruch erzeugt wurde.


Gödels Unvollständigkeitssätze zeigen für die Zahlentheorie und alle umfassenden Theorien, dass jede solche Theorie wahre Aussagen enthält, die in der Theorie nicht beweisbar sind. Aus einem formalen System abgeleitete Sätze sind immer durch die Ableitung bewiesen, also beweisbar, also wahr.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:

Die axiomatische Mengenlehre, dient nach meinem Verständnis sehr wohl als grundlegendes formales System um daraus alle weiteren Gebiete der Mathematik aufzubauen.

"Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie heute üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf."

Erster Satz auf https://de.wikipedia.org/wiki/Mengenlehre

"Gödel hat gezeigt, wie ein formales System der Zahlentheorie Aussagen über sich selbst machen kann."
Dann schick doch bitte mal eine Referenz, wo das beschrieben wird. Ich bin mir zu 99% sicher, dass Gödel NICHT gezeigt hat, dass S Aussagen über sich selbst machen kann, denn das ist nach meinem Verständnis nicht möglich. Gödel nutzt ein Fragment der Peanoarithmetik, die Robinsons-Arithmetik, als formales System S' um Aussagen über ein formales System S zu machen, nachdem er die "Worte" von S (welche aus den "Buchstaben" von S gebildet werden - siehe oben den Link zu formalen System) gödelisiert hat. Eine Unterscheidung in Metasprache S' und Objektsprache S ist zwingend nötig um z.B. das Lügnerparadoxon etc. auszuschließen.

"Aus einem formalen System abgeleitete Sätze sind immer durch die Ableitung bewiesen, also beweisbar, also wahr."

Du sagst damit: Alle aus S abgeleiteten Sätze sind wahr.

Damit ignorierst du jegliche Wiederspruchsbeweise in denen aus S sowohl die Aussage Q als auch die Aussage !Q abgeleitet wird. Selbstverständlich ist dann weder Q noch !Q wahr, womit gezeigt wird, dass eine Annahme / ein Axiom in S falsch war. Dennoch sind Q und !Q abgeleitete Aussagen aus dem (fehlerhaften) formalen System S. Ich konkretisiere noch einmal, dass ich das Wort "wahr" im Sinne von "konsistent" benutze. Und wenn Q und !Q gleichzeitig gelten, dann ist jegliche Konsistenz dahin. Insofern sind die aus dem (fehlerhaften) formalen System S abgeleiteten Aussagen nicht konsistent / nicht wahr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. "Die Mengenlehre ist ein grundlegendes Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Untersuchung von Mengen, also von Zusammenfassungen von Objekten, beschäftigt. Die gesamte Mathematik, wie sie heute üblicherweise gelehrt wird, ist in der Sprache der Mengenlehre formuliert und baut auf den Axiomen der Mengenlehre auf."

Soweit so gut. Das beschreibt die axiomatisierte Mengenlehre als eine mathematische Theorie, die mit Definitionen und Axiomen beginnt und mit heute üblicher Logik (Aussagenlogik und Prädikatenlogik) Sätze der Theorie beweist. Man könnte theoretisch eine solche mathematische Theorie formalisieren, praktisch kann man es nicht, weil dann kein Mensch mehr etwas damit anfangen kann. Als einen grandios gescheiterten Versuch sehe ich die Principia Mathematica von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell.

2. Ich empfehle die gut lesbare, nicht leicht verständliche aber allgemein verständliche, die nahezu fehlerfreie und vollständige Darstellung von Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze", Springer Spektrum, 2. Auflage, 2016.

99% sicher genügt nicht, denn ich bin 100% sicher. Augenzwinkern In der Tat ist die Gödelisierung eines formalen Systems der Beginn der Gödel'schen Arbeit. Gödel schreibt in Fußnote 9 (S. 174) "m.a.W.: Das oben beschriebene Verfahren liefert ein isomorphes Bild des Systems PM im Bereich der Arithmetik und man kann alle metamathematischen Überlegungen ebenso gut an diesem isomorphen Bild vornehmen. [...]"

D.h. bei geeigneter Interpretation, dass die Zahlentheorie die Metasprache der Zahlentheorie als Teilmenge enthält. Eine Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache wird damit hinfällig, und so kann eine von sich behaupten, "Ich bin unbeweisbar".

3. Wenn in einem formalen System eine Aussage und ihre Negation abgeleitet werden kann, dann ist das formale System nicht widerspruchsfrei. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, tertium non datur. , und aus folgt jede beliebige Aussage. Gödel betrachtet nur widerspruchsfreie formale Systeme, denn nach dem eben Gesagten ist jedes nicht widerspruchsfreie formale System vollständig.

Widerspruchsbeweise sind etwas anderes: Annahme Theorie widerspruchsfrei, man stellt eine Hypothese auf, beweist damit und , also , also Theorie+Hypothese nicht widerspruchsfrei, also Hypothese falsch.

4. Wahrheit und Beweisbarkeit sind festgelegte Begriffe, du darfst sie nicht neu festlegen. Wahrheit und Beweisbarkeit sind nicht identisch (sagt und beweist Gödel).
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von adiutor62
Zitat:
Als Beispiel: wie könnten man Erlären wie aus "Absolut nichts", "etwas" enstehen kann.

Es gibt kein absolutes Nichts.

https://de.wikipedia.org/wiki/Vakuumfluktuation

https://www.weltderphysik.de/gebiet/teil...mfluktuationen/


Schau in meinem ersten Post was ich mit absoluts Nichts meine:
Zitat:

Begriffs-Definitionen:
"Absolut nichts": Absolut gar nichts, keine Physik, keine Mathematik, keine Dimensionen, keine Freiheitsgrade, usw.


Also auch keinen Raum...
Justice Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Zitat:
Original von Conny_1729
Grundsätzlich würde ich erst einmal behaupten, dass man die "Mathematik" und "Physik" nicht so einfach hierarchisch betrachten darf. Die Mathematik ist eine reine Geisteswissenschaft, und unter diesen darf man sie wahrlich auch als "Königin" bezeichnen. Die Physik ist dagegen der elementarste Sektor unter den Naturwissenschaften und steht somit vollkommen separat neben der Mathematik. Die Physik bedient sich der Mathematik, um damit ihre Gesetze zu beschreiben und ist damit äußerst erfolgreich.

Bei der Physik hingegen kann man eher hierarchische Strukturen ableiten, die sich aber dann (wertfrei) allein auf die Skalierung bzw. Komplexität beziehen, wie z.B.

Physik - Chemie - Biologie - Lebewesen - Gesellschaftssysteme ...


Ja du hast recht, aber ich habe eine Grundlegendere Hierarchie gemeint. Was ich meinte war:

Geltungsbereich der Dispziplien: (nur Beispielhaft, nicht zwingend korrekt)

1) Unsere menschlichen Sprachen: Englisch, Französisch, Deutsch usw... --> Auf der Erde
2) Unsere Pyhsik/Chemie --> sehr wahrscheinlich im ganzen Universum/ggf. Multiversum
3) Mathematik --> in allen Uni- und ggf. Multiversen.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Zitat:
Original von willyengland

Woher weiß man das? Man weiß es nicht.
Mathematik ist genauso menschengemacht und in menschlichen Gehirnen erdacht, wie alles andere.
Insofern ist überhaupt nicht sicher, ob "überall allgemein" die gleiche Mathematik "gültig" ist.

Warum sind die natürlichen Zahlen für uns einfach?
Warum gibt es die völlig unverständlichen irrationalen Zahlen?
Vielleicht gibt es eine andere Mathematik, die ganz anders startet und wo sich z.B. PI ganz anders ergibt? Wo es keine "natürlichen" und "irrationalen" Zahlen gibt?
Wir können uns das nur nicht vorstellen, mit unseren Gehirnen.
Ich bin mir nicht sicher, ob unsere Metallplatte mit dem eingeritzten Satz des Pythagoras und dem Kreisumfang von allen Aliens leicht (oder überhaupt) erkannt würde.


Ja stimmt was du sagst, aber du redest von der unseren Interpretation der Mathematik, so wie wir es definiert haben, ist eine von vielen Varianten, aber die Logik hinter der Mathematik ist immer die selbe. Mengenlehre und Geometrie usw...
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Physik < Mathematik < Logik
Zitat:
Original von Justice
Ja stimmt was du sagst, aber du redest von der unseren Interpretation der Mathematik, so wie wir es definiert haben, ist eine von vielen Varianten, aber die Logik hinter der Mathematik ist immer die selbe. Mengenlehre und Geometrie usw...


Auch die Logik, besser gesagt Erkenntnistheorie hat eine Entwicklung hinter sich und ist nicht immer die gleiche geblieben in den letzten 2000 Jahren. In dem Sinne braucht es ein logisches Gründgerüst auf das wir uns einigen, bevor wir mit Mathematik anfangen können. Physik können wir ohne Mathematik betreiben, in dem wir phänomenologische Untersuchungen vornehmen und diese qualitativ beschreiben. Zum Beispiel eine Lupe, die Licht bündelt und somit ein Stück Papier entzündet. Eine rein qualitative Beschreibung.

So wie wir jedoch quantitativ vorgehen wollen,
  • z.B. der Frage auf den Grund gehen wollen, wie viel Sonnenlicht denn nun GENAU notwendig ist, damit sich das Stück Papier entzündet (nachdem wir festgestellt haben, dass es sich in einem dunklen Raum nicht entzündet)
kommen wir um Mathematik gar nicht mehr drumherum. Insofern ist der Schluss Logik -> Mathematik -> Physik folgerichtig unter der Annahme, dass wir quantitative Beschreibungen der Natur vornehmen wollen.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Soweit so gut. Das beschreibt die axiomatisierte Mengenlehre als eine mathematische Theorie, die mit Definitionen und Axiomen beginnt und mit heute üblicher Logik (Aussagenlogik und Prädikatenlogik) Sätze der Theorie beweist. Man könnte theoretisch eine solche mathematische Theorie formalisieren, praktisch kann man es nicht, weil dann kein Mensch mehr etwas damit anfangen kann. Als einen grandios gescheiterten Versuch sehe ich die Principia Mathematica von Alfred North Whitehead und Bertrand Russell.


Formalisieren heißt ja nicht gleich, dass eine Beweismaschine herauskommen soll, dies wäre ja höchsten für ein vollständiges formales System möglich. Formalisieren heißt auch nicht, dass alle abgeleiteten Aussagen wahr sind. Gödel sagte das sogar selbst auf der berühmten Königsberger Tagung: "Zunächst gab er [Gödel] zu bedenken, dass die Widerspruchsfreiheit eines formalen Systems, wie das der Principia Mathematica, nicht garantieren könne, dass alle abgeleiteten Theoreme wahre Aussagen sind." Dirk Hoffmann, Grenzen der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011, S.47

Um das formalisieren kommst du gar nicht drumherum, wenn du abgeleitete Aussagen machen möchtest, da es das "formale System" eine der grundlegendsten Definitionen der Logik ist. Immer wenn du eine abgeleitete Aussage machen möchtest, greifst du auf ein formales System voller Buchstaben, well-formed formulas und Axiomen zurück. Auch die Aussagenlogik und Prädikatenlogik sind formale Systeme. Ich verstehe nicht wo der Unterschied für dich zwischen einer Mathematischen Theorie und einem formalen System liegt.

Zitat:
Original von Elvis
2. Ich empfehle die gut lesbare, nicht leicht verständliche aber allgemein verständliche, die nahezu fehlerfreie und vollständige Darstellung von Dirk W. Hoffmann "Die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze", Springer Spektrum, 2. Auflage, 2016.

99% sicher genügt nicht, denn ich bin 100% sicher. Augenzwinkern In der Tat ist die Gödelisierung eines formalen Systems der Beginn der Gödel'schen Arbeit. Gödel schreibt in Fußnote 9 (S. 174) "m.a.W.: Das oben beschriebene Verfahren liefert ein isomorphes Bild des Systems PM im Bereich der Arithmetik und man kann alle metamathematischen Überlegungen ebenso gut an diesem isomorphen Bild vornehmen. [...]"


Tatsächlich lese ich von Dirk Hoffmann gerade "Grenzen der Mathematik", wie du an dem obigen Zitat vielleicht bemerkt hast Augenzwinkern . Da kommen die gödelschen Unvollständigkeitssätze auch umfangreich vor. Ich bin überrascht, dass er noch ein Extrabuch darüber geschrieben hat. Vielleicht hat er aber auch die wesentlichen Teile in sein umfangreiches Werk "Grenzen der Mathematik" integriert.

Dein Zitat zeigt doch nur den Isomorphismus zwischen S und S' und bildet somit die Grundlage, Aussagen über S' auf S zu übertragen. Dabei macht weder das System S noch S' Aussagen ÜBER SICH SELBST. Sondern es werden Aussagen in S' (Metasprache) gemacht (Ableitungen, die sich nicht auf die eigenen Buchstaben und well-formed Formulas in S' beziehen) und gezeigt, dass diese Aussagen auf S (Objektsprache) übertragbar sind.

Um es noch einmal zu konkretisieren: "Aussagen eines formalen Systems über sich selbst" bedeutet, dass die Buchstaben, well-formed formulas und Axiome verwendet werden um Aussagen über eben diese Buchstaben, well-formed formulas und Axiome zu machen. Die "Richtigkeit" der eigenen Annahmen lässt sich aber nicht aus dem formalen System selbst heraus zeigen. Stell dir vor du weißt nicht, wie Schach gespielt wird und dir wird ein Brett und die Figuren dazu vor die Nase gesetzt. Du bist alleine in einem Raum ohne irgendwelche Hilfsmittel. Du kannst dir zwar ein eigenes formales System überlegen, wie du mit dem Brett und den Figuren umgehst. Du wirst aber niemals allein im Raum ohne Hilfsmitteln nachweisen können, ob dein formales System dem "echten" formalen System entspricht, nachdem Schach gespielt wird. Von "echt" und "Richtigkeit" kann hier streng genommen gar nicht geredet werden, es gibt nur ein ausgewähltes formales System, nach dem wir generell (oder ein Computer) Schach spielen.

Zitat:
Original von Elvis
D.h. bei geeigneter Interpretation, dass die Zahlentheorie die Metasprache der Zahlentheorie als Teilmenge enthält. Eine Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache wird damit hinfällig, und so kann eine von sich behaupten, "Ich bin unbeweisbar".

Wie gesagt, durch den Isomorphismus wird lediglich die Übertragbarkeit der Aussagen aus der Metasprache in die Objektsprache gezeigt. Aber weder die Metasprache, noch die Objektsprache machen Aussagen über die eigenen Annahmen (Buchstaben, well-formed formuals, Axiom in S').

Zitat:
Original von Elvis
3. Wenn in einem formalen System eine Aussage und ihre Negation abgeleitet werden kann, dann ist das formale System nicht widerspruchsfrei. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch, tertium non datur. , und aus folgt jede beliebige Aussage. Gödel betrachtet nur widerspruchsfreie formale Systeme, denn nach dem eben Gesagten ist jedes nicht widerspruchsfreie formale System vollständig.

Widerspruchsbeweise sind etwas anderes: Annahme Theorie widerspruchsfrei, man stellt eine Hypothese auf, beweist damit und , also , also Theorie+Hypothese nicht widerspruchsfrei, also Hypothese falsch.


Eben darum wird ein formales System in dem Q und !Q gelten zu einem trivialen formalen System, das für uns keine Bedeutung hat. Es ist damit kein "falsches" formales System. Es verliert nur jegliche Beweisbarkeit und ist somit ein stumpfes Werkzeug. Entsprechend wählen wir zum weiterdenken lieber das System, in dem die Hypothese (im Sinne eines Axiom unseres formalen Systems) gültig ist.

Zitat:
Original von Elvis
4. Wahrheit und Beweisbarkeit sind festgelegte Begriffe, du darfst sie nicht neu festlegen. Wahrheit und Beweisbarkeit sind nicht identisch (sagt und beweist Gödel).


Puhh welche "Wahrheit" ist denn ein festgelegter Begriff? Meinst du die korrespondenztheoretische Interpretation oder die konsenstheoretische Interpretation von Wahrheit oder eine der weiteren mannigfaltigen Interpretationen? Es gibt unterschiedliche Vorstellungen/Interpretationen von Wahrheit insofern ist es unumstößlich genau zu definieren, was ich damit meine, wenn ich sage, dass etwas "wahr" oder "nicht wahr" ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich ergebe mich nicht, aber ich gebe auf, weil wir uns offenbar nicht einig werden können. Du verstehst alles anders als ich, und ich verstehe alles anders als du.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Habe 4) vergessen:

Hierarchie nach "Geltungsbereich":
1) Unsere menschlichen Sprachen: Englisch, Französisch, Deutsch usw... --> Auf der Erde
2) Unsere Pyhsik/Chemie --> sehr wahrscheinlich im ganzen Universum/ggf. Multiversum
3) Mathematik --> in allen Uni- und ggf. Multiversen. Und was auch da immer existieren mag.
4) "Übergordnete grundlegende Logik von Allem" (0=oo) (siehe Startbeitrag) --> unabhängig von existenz/nicht-existenz, welche auch Mathematik erst möglich macht.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Ich ergebe mich nicht, aber ich gebe auf, weil wir uns offenbar nicht einig werden können. Du verstehst alles anders als ich, und ich verstehe alles anders als du.


Schade, kann ja wirklich sein, dass ich etwas falsch verstanden habe (komme selbst aus der Physik und nicht der Logik). Tatsächlich habe ich aber auch 2 Freunde die Logik studieren, bzw. promovieren und mit denen ich mich regelmäßig austausche. Bin letztendlich in der Didaktik der Physik gelandet und möchte mich in einer Forschungsfrage mit derm Verstehen und Vermitteln von formalen Systemen beschäftigen. Und nach meinem Verständis geschieht jedes Schlussfolgern in einem formalen System. Deswegen auch die Frage, was für dich der Unterschied zwischen einem formalen System und einer mathematischen Theorie ist. Ich denke, jede mathematische Theorie ist in ein formales System eingebettet. Aber vielleicht habe ich da von der Begrifflichkeit ja etwas falsch verstanden.

Viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz sagt, dass es wahre Sätze der Zahlentheorie gibt, die in keinem formalen System der Zahlentheorie bewiesen werden können. Anders gesagt, jedes formale System der Zahlentheorie kann nur einen echten Teil der wahren Sätze beweisen.

Zahlentheorie ist eine mathematische Theorie, sie ist nicht formalisierbar. Mathematiker machen Mathematik fast nie mit formalen Systemen. Wir denken einfach nur nach und erweitern die Theorie durch immer neue Axiome, Definitionen, Sätze und Beweise. Wir argumentieren mit Worten und unsere Beweise sind plausibel aber nicht formal.

Der Logizismus von Russell war ein Versuch, die Mathematik auf Logik aufzubauen. Dieser Versuch ist großartig gescheitert, großartig weil er mit enormen Aufwand durchgeführt wurde. Er wurde aber nicht zu einem Ende geführt, er ist notwendig gescheitert wegen Gödel.

Logik ist nurmehr ein Teilgebiet der Mathematik. In der Logik untersuchen wir u.a. formale Systeme, logische Systeme und Beweistheorien. Ein kleines bisschen Logik brauchen wir auch für die mathematische Arbeit, aber das unterscheidet uns nicht von einem beliebigen anderen Wissenschaftler.

Mengenlehre und Logik sind die beiden fundamentalen mathematischen Theorien, auf denen die moderne Mathematik aufbaut. Ich kann also auch sagen, dass die Mathematik auf sich selbst aufbaut. Mathematik ist ein menschengemachtes Denksystem für Mathematiker, es darf auch von Nichtmathematikern benutzt werden. Wie jedes Menschenwerk ist auch Mathematik historisch entstanden und wird weiterentwickelt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp. Studiere zunächst Hoffmanns Buch über Gödel, das geht dem anderen Buch über die Grenzen der Mathematik zeitlich voraus. Gödel darf man nicht glauben, man muss ihn verstehen, bevor man tiefer in die Logik einsteigen kann.

Historisch und zu deinem Verständnis auch sehr wichtig ist eine Grundlegung der modernen mathematischen Logik durch Gottlob Frege. Tipp. Studiere Matthias Wille "Gottlob Frege. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens."

Tipp: Wenn du wissen möchtest, wie man David Hilbert und seinen Ansatz zu einer formalisierten Mathematik wissenschaftshistorisch einordnen kann, dann studiere auch CHRISTIAN TAPP
"AN DEN GRENZEN DES ENDLICHEN — ERKENNTNISTHEORETISCHE, WISSENSCHAFTSPHILOSOPHISCHE UND LOGIKHISTORISCHE PERSPEKTIVEN AUF DAS HILBERTPROGRAMM "
(gibt es sogar kostenlos: https://edoc.ub.uni-muenchen.de/6523/1/Tapp_Christian.pdf)
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann könnte man sagen 0=oo, ist wahr aber nicht beweisbar?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Gödel: In jedem formalen System der Zahlentheorie gibt es Sätze, die nicht im formalen System beweisbar sind, die aber in der Zahlentheorie wahr sind.
Das heißt nicht, dass jeder Satz, den "man" nicht beweisen kann, "irgendwo" wahr ist.

erachte ich in jeder sinnvollen Mathematiik für eine falsche Aussage.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Das heißt nicht, dass jeder Satz, den "man" nicht beweisen kann, "irgendwo" wahr ist.


Nein, sicher nicht, das sag ich ja auch nicht.

Aber das "" das ich meine, wäre auch keine Mathematik wie wir sie kennen, oder wie sie Sinn ergeben würde, sondern Bestandteil einer "übergeordnete Logik von Allem". Aus dieser "ü.L.v.A." kann auch z.B. unsere menschliche Mathematik abgeleitet werden.
Und so wie es in unsere menschlichen Mathematik verschiedene "Unendlichkeiten" gibt.
Gibt es auch in der "Übergeordneten Logik von allem" verschiedene Unendlichkeiten; die von unserer Mathematik, und die restlichen die wir noch nicht kennen.
Und darin ist auch die "absolute übergeordnete logische Unendlichkeit", welche mit dem abosluten logischen Nichts (0) gleichgestellt werden kann.


Vielleicht sind die Wörter "Logik" und "logisch" hier, die Falschen. Eben grundlegende Gesetze von allem. worauf alles basiert und erklärt werden kann. Und keine Wiedersprüche entstehen: ala "was war zuerst, Huhn oder Ei"...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir sinnlose Mathematik zulassen, dann ist die falsche Aussage wahr. Daraus folgt, dass alles und nichts wahr und falsch ist. Das ist keine übergeordnete Logik von Allem sondern die unendliche menschliche Dummheit, von der Albert Einstein gesprochen hat.

Sinnvolle Mathematik und sinnvolle Wissenschaft ist nur möglich, wenn man wahr und falsch unterscheiden kann.

Übrigens hat Gödel bewiesen, dass man nicht alles wissen und erklären und verstehen kann. Wir können unsere Mathematik unendlich lange weiter entwickeln, wir werden niemals zu einem Ende kommen.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz sagt, dass es wahre Sätze der Zahlentheorie gibt, die in keinem formalen System der Zahlentheorie bewiesen werden können. Anders gesagt, jedes formale System der Zahlentheorie kann nur einen echten Teil der wahren Sätze beweisen.

Naja, es gibt dann ja auch "falsche" Sätze, denen nicht nachgewiesen werden kann, dass sie falsch sind. Ich verstehe Göden etwas exakter so: Es gibt Sätze in der Zahlentheorie, die "weder wahr noch falsch" sind. "Weder wahr noch falsch" ist dabei als dritter Wahrheitswert / boole'scher neben "wahr" und "falsch" zu verstehen.

Zitat:
Original von Elvis
Zahlentheorie ist eine mathematische Theorie, sie ist nicht formalisierbar. Mathematiker machen Mathematik fast nie mit formalen Systemen. Wir denken einfach nur nach und erweitern die Theorie durch immer neue Axiome, Definitionen, Sätze und Beweise. Wir argumentieren mit Worten und unsere Beweise sind plausibel aber nicht formal.


Ich verstehe wie du die Mathematik hier als völlig unformal darstellst. Aber ich hinterfrage: Ist sie wirklich so? Es ist dank Gödel klar, dass die Mathematik nicht durch ein vollständiges formales System ausgedrückt werden kann. Dennoch verwendet die Mathematik durchaus unvollständige formale Systeme, oder siehst du das anders? Könnte ein klassischer Computer überhaupt arbeiten, wenn er nicht nach einem (unvollständigen) formalen System Entscheidungen treffen würde (in dem er z.B. beim Vergleich zweier Zahlen entscheidet, ob diese gleich groß sind oder unterschiedlich)?

Ich verstehe Gödels Unvollständigkeitssätze auch nur so, dass er nachgewiesen hat, dass jedes formale System, auf dem Mathematik aufbaut, unvollständig sein muss (ab einer gewissen Mächtigkeit...). Das heißt ja aber nicht, dass Mathematik nicht auf formalen System aufbaut.

Wir verwenden auch abseits der Mathematik eine Vielzahl von formalen Systemen: Schrift, Sprache, Spiele, Gesetze... so ziemlich allem was nach "Regeln" / "einer Logik folgend" geschehen soll.

Immer wenn ich Schlussfolgern will, brauche ich doch eine Basis an Axiomen, definierten Wörtern (im formalen System auch als Buchstaben bezeichnet), Operatoren (Prädikate, die mit zu den Buchstaben gehören) und eine Syntax in denen die Wörter Sinn ergeben. Genau dies wird durch alles durch das formale System vorgegeben, für dass ich mich entscheide. Und dann kann ich in diesem formalen System weitere Aussagen ableiten.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis, kennst du die Geschichte der Mathematik?

Was falsch und richtig ist, sinnvoll und sinnlos ist, beruhte immer auf dem Wissens- und Glaubstand der jeweiligen Generation.

Die Erweiterung der ganzen Zahlen mit Rationalen, dann Irrationalen, dann Transendenten, dann Universellen Zahlen... das es logische sinnvolle Lösungen und mathematik gibt für Wurzelziehen aus negativen Zahlen:
In der reellen Zahlenwelt macht das überhaupt keinen Sinn. Aber in der Komplexenzahlenebene ist es Schlüssig und ein super Mathe-Instrument.

Das gleiche auch in der Chemie und Physik mit der Alchemie und klassischen Physik. Neuere und abstraktere Theorien, die nicht unseren Wissenstand und Logik entsprechen sind unfung. (Auch Alberteinsteint über die Verschränkung Von Teilchen sagte.)

Man sagt ja heute schon, dass die Quantenmechanik nicht für das menschliche Hirn geeignet ist, weil es counter-intuitiv ist... genau so wie .

Unsere Mathematik ist entweder noch nicht soweit, oder es ist nur ein Teilgebiet der "ü.L.v.A"... genauso wie die reellen Zahlen von der Komplexen....

Das hat nichts damit zu tun, das mit dieser Aussage gleich resultit: falsch und wahr ist nicht mehr unterscheidbar oder das selbe...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Verrain
1. Es gibt keine falschen Sätze der Zahlentheorie , die ein geeignetes formales System der Zahlentheorie nicht als falsch nachweisen kann. Formal unentscheidbare Sätze sind wahr, also müssen wir die logischen Wahrheitswerte nicht erweitern. Du hast Gödel nicht verstanden und denkst dir etwas aus, was nicht so ist.
2. Nicht alles was man für ein formales System hält, ist ein formales System. Unsere Ansprüche an formale Systeme sind sehr streng. Jeder normale Mensch denkt und arbeitet und spricht informell, und das gilt auch für Mathematiker.
3. Computer sind Maschinen, die Informationen verarbeiten. Sie sind keine formalen Systeme und sie brauchen auch keine.

Ich empfehle dir, dass du dich mit der von mir angegebenen Literatur auseinander setzt, dann wirst du viel verstehen.
Verrain Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie verarbeitet der Computer Informationen, wenn nicht innerhalb eines formalen Systems?

Aber nu gut, ich les erstmal weiter in der Einführung der "Grenzen der Mathematik", ich sehe schon, dass er sich am Ende auch mit dem Rechnen von Computern beschäftigt, vielleicht finde ich da die Antwort.

Viele Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Computer sind "endliche Automaten". Siehe "Automatentheorie".
https://studyflix.de/informatik/endliche-automaten-1210
https://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_...ie_Logik_des_EA

Wenn ich mich recht erinnere, schreibt Hoffmann über Berechenbarkeit und Turingmaschinen. Turingmaschinen und Automaten hängen ebenso zusammen wie Berechenbarkeit und rekursive Funktionen.

Noch einmal mein gutgemeinter Rat: Lies zuerst über Gödel bei Hoffmann. Das ist m.E. der Schlüssel zu vielen neueren Erkenntnissen. Am Anfang war die Logik und die Logik war bei Gödel. Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Da war noch (mindestens) ein berechtigter Einwand (Verrain, 11.07.), auf den ich bisher noch nicht geantwortet habe. Es geht um die Frage, was ein formales System mit wahr und falsch zu tun hat. Erst einmal nichts, denn das formale System behandelt die Syntax und nicht die Semantik.

Aber: Gödel und ich interessieren uns hauptsächlich für formale Systeme, die logisch (wahr/falsch) und mathematisch (Gödel :Arithmetik, Elvis :Zahlentheorie) relevant sind. Also betrachten wir ganz bestimmte formale Systeme zusammen mit einer Interpretation ihrer ableitbaren Sätze als Sätze über Zahlen. Aus diesem Grund sagen wir, dass ein Satz beweisbar ist, wenn er formal abgeleitet werden kann. Weil wir in diesem Zusammenhang von einem widerspruchsfreien formalen System ausgehen, sind beweisbare Sätze wahr. Ist die Negation eines Satzes ableitbar, so ist der Satz falsch.

Formal unentscheidbare Sätze sind wahr. Liegt das an tertium non datur? Wenn A und nonA nicht ableitbar sind, ist jedenfalls genau einer der beiden Aussagen wahr.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Justice
Beweis aus Cantors Mengenlehre (um 1890)


Damit ist dein Ansatz falsch. Der Beweis ist mathematisch zweifelsfrei richtig, also gültig bis in alle Ewigkeit in allen Multiversen.
Justice Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, für unsere Mengenlehre und Mathematik (Stand jetzt) ist das so.

Was sagt man den über die Riemannsche Zahlenkugel und das dazugehörige Unendlich? bei der ist?

Es gibt sicher auch ein Beweis dass oder nicht?


Vieleicht ist dieses "absolute Logik " auch nichts mathematisches wie wir es kennen. Ja, counter-intuitive wie die Quantenmechanik und die Teilchen-Verschränkung.

Meine Idee hier mit dem Ganzen ist halt sehr philosophisch ich weiss...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wahre Sätze der Mathematik können niemals falsch werden. Mathematik ist zwar historisch entstanden und entwickelt worden, aber ihre wahren Aussagen haben dauerhaft Bestand.

Unendlich ist ein vielschichtiger Begriff. Reelle Zahlen werden durch kompaktifiziert, komplexe Zahlen durch einen Punkt auf der Zahlen Kugel.

Die Mengenlehre ist die Theorie, die alle Unendlichkeiten erforscht. Mathematische Begriffe in verschwurbelten Zusammenhang zu benutzen ist weder Wissenschaft noch Philosophie sondern Esoterik. Quantentheorien sind physikalische Theorien, sie sind nur für Menschen mit zu wenig Phantasie counter intuitive.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

"Unendlich" ist ein Begriff, für den der Mensch nicht geschaffen ist.
Er passt irgendwie nicht zu unserem Universum.
Alles, was zu Unendlichkeiten führt, ist irgendwie ein Irrweg, ist so mein "Gefühl".
Insofern wäre auch schon Pi ein Irrweg.
Vielleicht gibt es "Mathematik", die ganz ohne Unendlichkeiten auskommt?
Die müsste allerdings schon krass anders sein, da ja dann auch Pi nicht irrational wäre.
Auch in der Physik hat man sich ja in Unendlichkeiten verfranst, s. Renormierung.
Irgendwo sind wir wohl mal "falsch abgebogen"?

Ich träume davon, in den Himmel zu kommen, um dann ausrufen zu können: "Ach so ist das alles!" smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Unendlich war vor Cantors Mengenlehre ein schwieriger Begriff, heute ist das nicht mehr so. Ich empfehle "Einführung in die Mengenlehre" von Oliver Deiser oder auch das sehr hübsche allgemeinverstaendliche "Unendlichkeiten" von Harro Heuser.
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

In Abwandlung des Feynman Zitats sage ich:
Wer glaubt, "Unendlich" verstanden zu haben, hat es nicht verstanden. Big Laugh

Aber belassen wir es dabei. Ist ja nur "Gelaber" ...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »