Satz von Cantor & Potenzmengen

08.07.2022, 12:17	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Cantor & Potenzmengen Vielleicht habe ich eine falsche Vorstellung von Potenzmengen, aber wenn ich z.B. die Menge $\begin{eqnarray} M = {a,b,c} \end{eqnarray}$ anschaue und davon die Potenzmenge P(M) bilde, dann enthält P(M) ja die Elemente $\begin{eqnarray} P(M) =\{a,b,c,\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\} \end{eqnarray}$ Jetzt sagt der Satz von Cantor https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Cantor in seinem Beweis, dass $\begin{eqnarray} M \rightarrow P(M) \end{eqnarray}$ eine injektive Abbildung ist. Nach meinem Verständnis "zeigt" $\begin{eqnarray} a \in M \end{eqnarray}$ jedoch auf die Elemente $\begin{eqnarray} a, \{a,b\}, \{a,c\},\{a,b,c\} \in P(M) \end{eqnarray}$ . Genauso zeigt z.B. $\begin{eqnarray} b \in M \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \{a,b\} \in P(M) \end{eqnarray}$ Wie kann da noch von injektivität die Rede sein?
08.07.2022, 12:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Potenzmenge enthält nicht die Elemente $\begin{eqnarray} a,b,c\in M \end{eqnarray}$ sondern die Teilmengen $\begin{eqnarray} \{a\},\{b\},\{c\}\subset M \end{eqnarray}$ und außerdem noch die leere Menge (und die von dir angegebenen weiteren Teilmengen). Die Abbildung $\begin{eqnarray} M\to P(M),x\mapsto \{x\} \end{eqnarray}$ ordnet jedem Element aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ genau ein Element aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ zu, und weil die Elemente von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ paarweise verschieden sind, sind auch die einelementigen Teilmengen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , also die Bilder der Abbildung, paarweise verschieden. Das heißt, dass die Abbildung injektiv ist.
08.07.2022, 14:37	Verrain	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Jetzt habe ich die injektivität verstanden. Alle drei Elemente aus M tauchen in P(M) auf, deswegen injektiv. Auf die anderen Element in P(M) wird nicht abgebildet.
08.07.2022, 19:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität hast du möglicherweise verstanden, aber Elemente aus M sind nicht Elemente von P(M).

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »