Konjugierte Durchmesser einer Ellipse

09.07.2022, 12:03

Malcang

Konjugierte Durchmesser einer Ellipse

Hallo zusammen Wink

ich hänge aktuell an dieser Aufgabe;
[attach]55556[/attach]

Ich habe versucht, mir das zeichnerisch klarzumachen.:
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Die Ellipse ist ja aus einer affinen Transformation $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ aus dem Kreis hervorgegangen. Betrachte ich nun $\begin{eqnarray*} F^{-1} \end{eqnarray*}$ . Unter Anwendung dieser inversen Abbildung werden $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_2 \end{eqnarray*}$ auf die beiden Radien im Kreis abgebildet, die dort auch orthogonal stehen.
Weiterhin werden die Halbachsen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abgebildet auf die Achsenabschnitte des Kreises, also oBdA $\begin{eqnarray*} (r,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,r) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Radius ist. Also gilt auch $\begin{eqnarray*} F^{-1}(l_1) = r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F^{-1}(l_2) = r \end{eqnarray*}$

Am Kreis betrachte ich jetzt also das Quadrat mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ . dieses hat den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A = 2a2b\cdot\sin(90^{\circ}) = 4ab \end{eqnarray*}$ . Dies wird unter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ dann zu $\begin{eqnarray*} l_1l_2\cdot\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ .

So erkläre ich mir das und das erscheint mir auch sinnig. Aber mit dieser Erklärung hätte ich eher $\begin{eqnarray*} F(4ab) = l_1l_2\sin(\phi) \end{eqnarray*}$ erwartet oder auch $\begin{eqnarray*} 4ab = F^{-1}(l_1l_2\sin(phi)) \end{eqnarray*}$ , da ich ja immer noch die Transformation betrachte.

Wo steckt mein Fehler?

09.07.2022, 14:31

Huggy

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RE: Konjugierte Durchmesser einer Ellipse

Zitat:

Original von Malcang
Am Kreis betrachte ich jetzt also das Quadrat mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2b \end{eqnarray*}$ .

Das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck. Betrachte das Quadrat mit der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ . Die Ellipse entsteht aus dem Kreis durch Streckung der y-Achse um den Faktor $\begin{eqnarray*} b/a \end{eqnarray*}$ . Dabie ändert sich auch die Fläche des betrachteten Quadrats um diesen Faktor.

09.07.2022, 14:50

Malcang

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RE: Konjugierte Durchmesser einer Ellipse

Zitat:

Original von Huggy
Das ist kein Quadrat, sondern ein Rechteck. Betrachte das Quadrat mit der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$

Oh, ich hab das oben nicht erwähnt. Meiner Meinung nach werden ja die Abschnitte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ der Ellipse im Kreis jeweils auf die gleiche Zahl abgebildet.

09.07.2022, 14:53

Huggy

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RE: Konjugierte Durchmesser einer Ellipse
Ja eben! $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bleibt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ wird zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , wenn man die Ellipse auf den Kreis abbildet.

09.07.2022, 15:02

Malcang

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Vielleicht hänge ich mich jetzt zu sehr an den Begriffen auf, aber dann habe ich doch ein Quadrat um den Kreis verwirrt

09.07.2022, 15:08

Huggy

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Nein! $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist doch der Radius des Kreises und nicht sein Durchmesser.

09.07.2022, 15:14

Malcang

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Und genau deshalb bekomme ich ein Quadrat mit der Sietenlänge $\begin{eqnarray*} 2a \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

09.07.2022, 15:42

Huggy

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Offenbar reden wir völlig aneinander vorbei. Ich fange mal bei Null an. Ich beginne mit einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Aus diesem Kreis mache ich eine Ellipse durch Streckung der y-Achse um den Faktor $\begin{eqnarray*} b/a \end{eqnarray*}$ . Die Ellipse hat dann die Halbachsen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ .

In dem Kreis betrachte ich zwei konjugierte Durchmesser. Das sind einfach zwei senkrecht aufeinander stehende Durchmesser. Die halben Durchmesser sind wieder zwei Radien, die man zu einem Quadrat mit der Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ergänzen kann. Das hat die Fläche $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ . Es wird im allgemeinen nicht parallel zu den Achsen liegen.

Aus den beiden konjugierten Durchmessern des Kreises werden durch die Streckung zwei konjugierte Durchmesser der Ellipse mit den Längen $\begin{eqnarray*} l_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l_2 \end{eqnarray*}$ . Die halben Durchmesser nenne ich mal $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ . Diese spannen ein Parallelogramm mit den Seiten $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h_2 \end{eqnarray*}$ auf und dem Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zwischen ihnen. Es hat die Fläche $\begin{eqnarray*} h_1 h_2 \sin \varphi \end{eqnarray*}$ . Da es aus dem Quadrat mit der Fläche $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ durch die Streckung hervorgegangen ist, gilt

$\begin{eqnarray*} h_1 h_2 \sin \varphi = \frac b a a^2 =ab \end{eqnarray*}$

Daher gilt

$\begin{eqnarray*} l_1 l_2 \sin \varphi = 4ab \end{eqnarray*}$

09.07.2022, 16:20

Malcang

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Ich glaube, dass hat gesessen. Also bei mir Big Laugh

Danke Huggy, ich schreibe mir das gleich nochmal in Ruhe auf. Da ich beim ersten Durchlesen keine Fragen mehr hatte, gehe ich davon aus, dass das so bleibt und sage vielen Dank smile

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