Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen

09.07.2022, 15:05

1inactive2

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen

Ich lose aus der Menge {1,2,3,…,2n-1,2n} zwei Zahlen. Was ist die Wahrscheinlichkeit dass der Quotient x/y aus erster geloster Zahl x und zweiter geloster Zahl y im Intervall (1, 2> liegt (größer als 1 kleiner/gleich 2)?

Der Ergebnisraum ist einfach zu berechnen, dieser beträgt $\begin{eqnarray*} 4n^{2} \end{eqnarray*}$ Wie kann ich denn die Anzahl an Ergebnissen in der Menge A berechnen, die den gesuchten Ereignissen entsprechen?

Habe herausgefunden, dass y < x $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ 2y sein muss. Weiter komme ich nicht.

Danke im Voraus! smile

09.07.2022, 16:23

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen
Wer immer den Thread verschoben hat: Ich fand ihn besser in der Hochschulmathematik aufgehoben.
Kann aber auch daran liegen, dass meine Lösungsmethode unnötig umständlich ausgefallen ist.

Ich habe mir einen Überblick verschafft, wieviele günstige Möglichkeiten es für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ jeweils in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt und daraus eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1/4 errechnet.
Meine Summenformel halte ich zurück, zuerst muß das Ergebnis überprüft werden.

09.07.2022, 16:56

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen

Zitat:

Original von klauss
Ich habe mir einen Überblick verschafft, wieviele günstige Möglichkeiten es für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ jeweils in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt und daraus eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1/4 errechnet.
Meine Summenformel halte ich zurück, zuerst muß das Ergebnis überprüft werden.

Eine Überprüfung ist notwendig. Bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} y<x<2y \end{eqnarray*}$ gar nicht erfüllbar. Da ergibt sich also die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Da du begonnen hast zu antworten, will mit meiner Abzählung nicht dazwischen funken.

09.07.2022, 17:12

Leopold

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$\begin{align*} y < x \leq 2y \end{align*}$

09.07.2022, 17:17

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen

Zitat:

Original von Huggy
Bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} y<x<2y \end{eqnarray*}$ gar nicht erfüllbar.

Bei $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ umfaßt die Zahlenmenge aber 2 Zahlen mit 4 möglichen Quotienten.
Allgemein immer eine gerade Anzahl von Zahlen wegen $\begin{eqnarray*} |M|=2n \end{eqnarray*}$ .

Edit: Oder Du hast das Gleichheitszeichen übersehen (s. Leopold).

09.07.2022, 17:17

Huggy

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Ach ja, falsch gelesen.

13.07.2022, 11:01

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen
Die Lösung ist durchaus weiterhin von Interesse. Da 1inactive2 um Löschung gebeten hatte, kehrt er/sie vielleicht nicht zurück.

Ich war jedenfalls bei erster Abzählung auf die Rohformel

$\begin{eqnarray*} p=\sum\limits_{y=1}^{n} \left(\frac{1}{2n} \cdot \frac{y}{2n} \right)+\sum\limits_{y=n+1}^{2n-1} \left(\frac{1}{2n} \cdot \frac{2n-y}{2n} \right) \end{eqnarray*}$

gekommen.
Kann das bestätigt oder widerlegt werden?

13.07.2022, 13:37

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen
Das kann ich bestätigen. Ich hatte dieselbe Abzählung gewählt nur mit leicht anderen Grenzen, weil ich irrtümlich $\begin{eqnarray*} y<x<2y \end{eqnarray*}$ betrachtet hatte statt $\begin{eqnarray*} y<x \leq 2y \end{eqnarray*}$ .

13.07.2022, 13:48

klauss

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zahlenmengen
Danke.

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