Gewöhnliche DGL mit AWP

10.07.2022, 18:22

Sunv2

Gewöhnliche DGL mit AWP

Meine Frage:

(Trennung der Veränderlichen)
Bestimmen Sie fur die Differentialgleichungen

a) $\begin{eqnarray*} x'(t)= (x(t))^{3} \end{eqnarray*}$

jeweils die Lösung des entsprechenden Anfangswertproblems mit $\begin{eqnarray*} x(t_{*}) = x_{*} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} t_{*}>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{*} \end{eqnarray*}$ beliebig fixiert sind

Hinweis: Sie dürfen alle Rechnungen formal durchführen. An den Ergebnisformeln kann ¨
man dann anschließend ablesen, auf welchen Intervallen die Lösung definiert
ist und für welche Werte von $\begin{eqnarray*} t_{*}, x_{*} \end{eqnarray*}$ gegebenenfalls ein Blow-Up auftritt.

Meine Ideen:
Kann mir jemand netterweise sagen ob ich das richtig gemacht habe bzw. mir andernfalls erklären wie ich das eigentlich machen sollte?

10.07.2022, 20:11

Huggy

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RE: Gewöhnliche DGL mit AWP
Die Rechnung ist bis auf die letzten beiden Zeilen in Ordnung. In der vorletzten Zeile muss vor der Wurzel ein $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ stehen. Das Vorzeichen hängt dann von $\begin{eqnarray*} x_* \end{eqnarray*}$ ab. In der letzten Zeile muss $\begin{eqnarray*} t_* \end{eqnarray*}$ stehen statt $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ .

Dann ist noch der Fall $\begin{eqnarray*} x_*=0 \end{eqnarray*}$ gesondert zu betrachten. Da geht ja dein Rechenweg nicht, weil man dann durch Null dividieren würde.

10.07.2022, 20:43

Sunv2

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RE: Gewöhnliche DGL mit AWP
Super danke dir

Für $\begin{eqnarray*} x_{*}=0 \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt einfach gesagt dass die Formel dafür die richtige stationäre Lösung x(t) = 0 liefert

Wie sieht es hier bei b) mit der Fallunterscheidung aus?
x = 5 hätte ich gesagt liefert keine Lösung da die e-Fkt sicher nicht 0 wird

11.07.2022, 09:54

Huggy

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RE: Gewöhnliche DGL mit AWP

Zitat:

Original von Sunv2
Für $\begin{eqnarray*} x_{*}=0 \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt einfach gesagt dass die Formel dafür die richtige stationäre Lösung x(t) = 0 liefert

Eine etwas fragwürdige Argumentation.

Zitat:

Wie sieht es hier bei b) mit der Fallunterscheidung aus?
x = 5 hätte ich gesagt liefert keine Lösung da die e-Fkt sicher nicht 0 wird

Wie schon vorher: Dein Lösungsweg ist für $\begin{eqnarray*} x_*=5 \end{eqnarray*}$ nicht zulässig. Man sieht aber ohne Rechnung, dass dann $\begin{eqnarray*} x(t)=5 \end{eqnarray*}$ die DGL löst.

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