Kegelschnitt durch fünf Punkte

10.07.2022, 22:59

Malcang

Kegelschnitt durch fünf Punkte

Guten Abend smile

Ich schaue mir diese Aufgabe an:
[attach]55590[/attach]

Meine Idee zu (a):
Setze ich diese fünf Punkte jeweils in die Gleichung $\begin{eqnarray*} Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \end{eqnarray*}$ ein, so erhalte ich fünf Gleichungen für die sechs Unbekannten $\begin{eqnarray*} A,B,C,D,E,F \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung exisitiert also und dies ist der gesuchte Kegelschnitt.

Zu (b)
Zuerst die notwendige Richtung.
Sei die Determinante $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist oBdA die rechteste Spalte eine Linearkombination der ersten fünf. Diese ersten fünf spannen (sagt man das?) einen Kegelschnitt auf und damit liegt der sechste Punkt ebenfalls auf diesem, da er Linearkombination ist.

Die hinreichende Richtung macht mir Probleme.
Nach (a) weiß ich zwar, dass fünf Punkte einen Kegelschnitt aufspannen, aber ich weiß ja nicht, dass genau fünf Punkte einen Kegelschnitt aufspannen. Daher könnte es ja sein, dass die ersten fünf Spalten dieser Matrix einen Kegelschnitt aufspannen und die sechste Spalte entweder auf diesem liegt oder einen ganz anderen Kegelschnitt beschreibt.

Oder was übersehe ich? verwirrt

11.07.2022, 11:29

Huggy

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RE: Kegelschnitt durch fünf Punkte
Zu b):

Es sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die gegebene Matrix und $\begin{eqnarray*} M^* \end{eqnarray*}$ diese Matrix, bei der $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ersetzt ist. Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M^*)=0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung des Kegelschnitts durch die ersten 5 Punkte. Wenn der Punkt $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ auf diesem Kegelschnitt liegt, erfüllt er diese Gleichung und dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M)=0 \end{eqnarray*}$ . Liegt $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ nicht auf diesem Kegelschnitt liegt, erfüllt der Punkt diese Gleichung nicht und es kann somit nicht $\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M)=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

11.07.2022, 12:44

Malcang

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RE: Kegelschnitt durch fünf Punkte
Hi Huggy,

Zitat:

Original von Huggy
Zu b):

Es sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die gegebene Matrix und $\begin{eqnarray*} M^* \end{eqnarray*}$ diese Matrix, bei der $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ersetzt ist. Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M^*)=0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung des Kegelschnitts durch die ersten 5 Punkte. Wenn der Punkt $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ auf diesem Kegelschnitt liegt, erfüllt er diese Gleichung und dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M)=0 \end{eqnarray*}$ .

...da der Punkt ja dann Linearkombination der ersten fünf ist, richtig?

Zitat:

Liegt $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ nicht auf diesem Kegelschnitt liegt, erfüllt der Punkt diese Gleichung nicht und es kann somit nicht $\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M)=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Aber es ist ja noch nicht gezeigt, dass ein Kegelschnitt durch fünf Punkte eindeutig bestimmt ist. Daher könnte es ja sein, dass ein Kegelschnitt durch sechs Punkte erst eindeutig bestimmt ist. Dann wäre hier die Determinante ja noch immer 0, solange ich nicht weiß, ab wann ein Kegelschnitt eindeutig ist. oder nicht? verwirrt

11.07.2022, 14:41

HAL 9000

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Genau genommen beziehen sich die ersten beiden Sätze von Huggys Antwort auf Aufgabenstellung a) ! Augenzwinkern

11.07.2022, 15:35

Huggy

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RE: Kegelschnitt durch fünf Punkte

Zitat:

Original von Malcang
...da der Punkt ja dann Linearkombination der ersten fünf ist, richtig?

Ja, aber damit wollte ich nicht direkt argumentieren. Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M^*)=f(x,y) \end{eqnarray*}$

und damit ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M^*)=0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$

die von allen Punkten auf dem Kegelschnitt erfüllt werden muss. Und wenn $\begin{eqnarray*} (x_6, y_6) \end{eqnarray*}$ auf dem Kegelschnitt liegt, erfüllt er diese Gleichung und dann ist

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M)=f(x_6,y_6)=0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Es spielt doch keine Rolle, ob der Kegelschnitt eindeutig bestimmt ist. Wenn er unbestimmt ist, liegt jedes beliebige $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ auf einem dieser unbestimmten Kegelschnitte, womit die Determinante dann wieder Null sein muss.

Wenn dir das nicht einleuchtet, klamüsern wir mal den unbestimmten Fall auseinander:

(1) Keine 3 der 5 Punkte liegen auf einer Geraden -> eindeutig

(2) 3 Punkte liegen auf einer Geraden, die beiden anderen Punkte liegen nicht auf dieser Geraden. Dann bestimmen die ersten 3 Punkte eine Gerade und die beiden anderen eine weitere Gerade. Der Kegelschnitt besteht aus 2 definierten Geraden. -> eindeutig

(3) 4 Punkte liegen auf einer Geraden, der 5. Punkt liegt nicht auf dieser Geraden. Der Kegelschnitt
besteht aus der Geraden durch die ersten 4 Punkte und einer beliebigen Geraden durch den 5. Punkt -> nicht eindeutig
Fügt man einen 6. Punkt hinzu, liegt dieser entweder auf der Geraden durch die 4 Punkte oder auf einer der Geraden durch den 5. Punkt. Er liegt immer auf einem der unbestimmten Kegelschnitte.

(4) 5 Punkte auf einer Geraden -> eindeutig

11.07.2022, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
(4) 5 Punkte auf einer Geraden -> eindeutig

Da möchte ich widersprechen: Die fünf Punkte mögen auf der Gerade $\begin{eqnarray*} ax+by+c=0 \end{eqnarray*}$ liegen (mit $\begin{eqnarray*} (a,b)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ). Da kann man sich eine beliebige zweite Gerade $\begin{eqnarray*} dx+ey+f=0 \end{eqnarray*}$ hinzunehmen und dann den Kegelschnitt

$\begin{eqnarray*} (ax+by+c)(dx+ey+f) = Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F = 0 \end{eqnarray*}$

betrachten - von Eindeutigkeit also keine Spur. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Huggy
Es sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die gegebene Matrix und $\begin{eqnarray*} M^* \end{eqnarray*}$ diese Matrix, bei der $\begin{eqnarray*} (x_6,y_6) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ ersetzt ist. Dann ergibt

$\begin{eqnarray*} \operatorname {Det} (M^*)=0 \end{eqnarray*}$

die Gleichung des Kegelschnitts durch die ersten 5 Punkte.

Problem an dieser Lösung ist, dass es eine Gleichung ist, welche alle fünf Punkte erfüllen - aber eine, die bei bestimmten Punktkonstellationen leider zu $\begin{eqnarray*} A=B=C=D=E=F=0 \end{eqnarray*}$ führt, was dann nicht wirklich eine Kegelschnittgleichung ist, sondern eine der gesamten Ebene. Wie man dieses Problem elegant löst, dafür habe ich allerdings auch keine schnelle Idee. verwirrt

11.07.2022, 16:07

Huggy

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Stimmt.
Allerdings liegt dann auch hier ein beliebiger 6. Punkt auf einem der unbestimmten Kegelschnitte.

12.07.2022, 19:09

Malcang

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Hallo ihr beiden,

sorry für meine späte Rückmeldung und danke vielmals natürlich für eure Rückmeldungen. Da ist ja nun doch noch einiges zusammengekommne. Ich versuche, mir das mal noch draufzuschaffen, das wird aber zeitlich derzeit dann doch eher nicht gehen. Wenn ihr nichts mehr von mir hört (in diesem Thread Big Laugh

) liegt da snicht an fehlendem Interesse, sondern gerade an fehlender Zeit. Und ein bisschen an der aufkommenden Hitzewelle.

Gab es nichtmal einen schwitzenden Smiley? :sweat:

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