Doppelpost! Laurentreihen Entwicklung

11.07.2022, 12:26	Djanselito	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihen Entwicklung Hallo zusammen, Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\setminus\{2,i\} \to \mathbb{C}, z \mapsto \frac{2-i}{(z-2)(z-i)} \end{eqnarray}$ Entwickeln Sie $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ in eine Laurent Reihe, die in $\begin{eqnarray} G=K_{1,2}(0) \end{eqnarray}$ konvergiert. Lösung: Die LR soll auf $\begin{eqnarray} K_{1,2}(0):=\{z \in \mathbb{C}\| 1<\|z\|<2 \} \end{eqnarray}$ Deshalb mache ich zunächst eine Partialbruchzerlegung mit $\begin{eqnarray} \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{A}{(z-2)}+\frac{Bz+C}{(z-i)} \end{eqnarray}$ Dabei habe ich für $\begin{eqnarray} A=1,B=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C=-1 \end{eqnarray}$ folgende Zerlegung raus $\begin{eqnarray} \frac{2-i}{(z-2)(z-i)}=\frac{1}{(z-2)}-\frac{1}{(z-i)} \end{eqnarray}$ Entwickle ich die LReihe nun für $\begin{eqnarray} \frac{1}{(z-2)} \end{eqnarray}$ kommt folgendes raus $\begin{eqnarray} \frac{1}{(z-2)}=\frac{1}{(z-1)-1}=-\frac{1}{1-(z-1)}=-1\cdot \frac{1}{1-\frac{(z-1)}{1}}= -1 \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}(z-1)^k \end{eqnarray}$ ist das soweit korrekt? Bei $\begin{eqnarray} -\frac{1}{(z-i)} \end{eqnarray}$ habe ich bisher noch keine Idee :/
11.07.2022, 13:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} -\frac 1 {z-i}=\frac 1 {z-i}=\frac i {i^2-iz}=\frac i {1-iz} \end{eqnarray}$ Hilft das ?
11.07.2022, 14:02	Djanselito	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum $\begin{eqnarray} -\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z-i} \end{eqnarray}$ ? Ich glaube ,dass du meinst $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-i} = \frac{1}{i-z}= \frac{i}{i^2-zi}=-i \cdot \frac{1}{1-zi}=-i \cdot \frac{1}{1-\frac{zi}{1}}= -i \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty} (zi)^k \end{eqnarray}$ Wie mache ich jetzt weiter?
11.07.2022, 15:13	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
@Djanselito: Bitte mache dich mit unserem Bordprinzip vertraut. Prinzip "Mathe online verstehen!" Ich hatte dort schon einen Doppelpost verlinkt: Satz von Rouché Dieses ist nun wieder einer(https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/...hp?topic=259499) Außerdem bist du nun mit zwei Benutzernamen angemeldet, dieses ist nicht erwünscht.

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