i ! = 0,498015668 - 0,154949828 i

11.07.2022, 19:44	Anonycat90	Auf diesen Beitrag antworten »
i ! = 0,498015668 - 0,154949828 i Meine Frage: Sehr geehrte MathematikerInnen i ! = 0,498015668 - 0,154949828 i Könnte mir jemand verraten was es mit dieser Gleichung zu tun hat? Kann man diese Lösen und was bedeutet sie? Hochachtungsvoll Anonycat90 Meine Ideen: Imaginäre Zahl Fakultät
11.07.2022, 20:12	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: i ! = 0,498015668 - 0,154949828 i Da gehts wohl um die Gamma-Funktion. Viele Grüße Steffen
12.07.2022, 06:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann den Wert mit dem Eulerschen Gamma-Integral berechnen: $\begin{align} \operatorname{i}! = \Gamma(\operatorname{i}+1) = \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-t} t^{\operatorname{i}} ~ \dd t = \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-t} \cos \left( \ln(t) \right) ~ \dd t + \operatorname{i} \int_0^{\infty} \operatorname{e}^{-t} \sin \left( ln(t) \right) ~ \dd t \end{align}$ Das ist natürlich auch kein wirklicher Fortschritt, zumal heutige Algebra-Programme $\begin{align} \operatorname{i}! \end{align}$ direkt numerisch bestimmen können. Immerhin gilt (siehe hier) $\begin{align} \left\| \operatorname{i}! \right\| = \sqrt{\frac{\pi}{\sinh(\pi)}} \end{align}$ So kennen wir die Richtung zwar nicht, wissen aber zumindest, wie weit es vom Zentrum der Welt aus ist.
12.07.2022, 09:03	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn's nicht so genau sein soll, reicht auch die im Link genannte Formel $\begin{eqnarray} m! = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dotsm n}{(1+m)(2+m) \dotsm (n+m)}\,(n+1)^m \end{eqnarray}$ die schon für $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ ein ganz brauchbares $\begin{eqnarray} i! \approx \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 }{(1+i)(2+i)(3+i)}\,(3+1)^i \approx 0,59-0,1i \end{eqnarray}$ ergibt.

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