Überdeckungen von Mengen

13.07.2022, 15:47	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Überdeckungen von Mengen Gegeben ist eine Teilmenge A $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und unendlich viele offene Teilmengen $\begin{eqnarray} \ U_n\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ n = 1,2,3,..., angegeben. Beantworten Sie die folgende Frage und begründen Sie Ihre Antwort: 1) Ist $\begin{eqnarray} \ U\ \end{eqnarray}$ = { $\begin{eqnarray} \ U_n\ \end{eqnarray}$ : n =1,2,3,...} eine Überdeckung für A? 2)Falls dies der Fall ist, enthält $\begin{eqnarray} \ U\ \end{eqnarray}$ dann eine endliche Teilüberdeckung von A? $\begin{eqnarray} \ U_n\ \end{eqnarray}$ = ]n,n+2[ , A = {5} $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ {10} $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ {15} $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ [20,25] Hier nun die Lösung, die ich nicht! nachvollziehen kann. Die offenen Mengen $\begin{eqnarray} \ U_4, U_9, U_{14}\ \end{eqnarray}$ überdecken die Zahlen 5, 10, 15. Die offenen Mengen $\begin{eqnarray} \ U_{19},..., U_{24}\ \end{eqnarray}$ überecken die Zahlen in [20,25]. Daher ist die Familie { $\begin{eqnarray} \ U_4, U_9, U_{14}, U_{19},..., U_{24}\ \end{eqnarray}$ } eine endliche Teilüberdeckung für A, die aus $\begin{eqnarray} \ U\ \end{eqnarray}$ stammt. Dies beweist, dass $\begin{eqnarray} \ U\ \end{eqnarray}$ eine Überdeckung für A ist, und dass es eine endliche Teilüberdeckung gibt. Was ich hier nicht nachvollziehen kann, ist folgendes: $\begin{eqnarray} \ U_n\ \end{eqnarray}$ = ]n,n+2[ ist ja ein offenes Intervall, und bei einem offenen Intervall zählen die Grenzen nicht mit. Jetzt die Menge $\begin{eqnarray} \ U_4\ \end{eqnarray}$ = ]4,4+2[ , so verstehe ich zumindest diese offene Menge. Und wenn hier die Grenzen des Intervalls also links die 4 und rechts die 2 wegfallen, dann steht da eigentlich nur noch die Menge {4} , und mir ist nicht klar, wie diese Überdeckung funktionieren soll. Mir ist zwar klar, dass ich hier wohl irgendetwas verdrehe, aber ich komme da aktuell nicht drauf wo mein Fehler liegt.
13.07.2022, 17:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
]4,4+2[=]4,6[ ist das offene Intervall zwischen 4 und 6, überdeckt also ganz sicher auch 5.
13.07.2022, 17:28	Samsara	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. da habe ich wohl gegen eine Wand gedacht. Soll wohl in Mathematik des öfteren vorkommen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »