Schnittpunkt von Exponentialfunktionen

13.07.2022, 22:59

patzy34

Auf diesen Beitrag antworten »

Schnittpunkt von Exponentialfunktionen

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe vor mir:

Gegeben sind die Funktionen: $\begin{eqnarray*} f(x)=2e^{8x} und g(x)=6e^{4x} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g genau einmal schneiden.

Meine Ideen:
Ich habe die beiden Funktionen gleichgesetzt und bin bis zu folgender Stelle gekommen:
$\begin{eqnarray*} 0=2e^{4x}(3-e^{2}) \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich weiter vor?

13.07.2022, 23:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Umformung ist falsch. Du hast gegen das 1. Potenzgesetz verstoßen: Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert. Richtig wäre daher

$\begin{align*} 0 = 2 \operatorname{e}^{4x} \left( 3 - \operatorname{e}^{4x} \right) \end{align*}$

Man könnte auch nach dem Gleichsetzen sofort durch $\begin{align*} \operatorname{e}^{4x} \end{align*}$ dividieren. Dieser Term kann ja niemals 0 werden.

13.07.2022, 23:07

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von patzy34
$\begin{eqnarray*} 0=2e^{4x}(3-e^{2}) \end{eqnarray*}$

Das kann aber nicht stimmen, denn $\begin{eqnarray*} 2e^{4x}(3-e^{2})=6e^{4x}-2e^{4x+2} \end{eqnarray*}$ .

Fange noch mal mit dem Gleichsetzen an und bilde auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus!

14.07.2022, 01:18

patzy34

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen
Danke für die Antworten. Mein Fehler war eindeutig.
Aber ich habe mich daran gehalten und nochmal neu begonnen, wobei ich wieder auf dem Schlauch stehe.

$\begin{eqnarray*} ln(6)*4x=ln(2)*8x \end{eqnarray*}$

Das wäre jetzt mein Standpunkt, vom dem ich dann nicht weiter weiß.

Denn wenn ich jetzt weitermache, dann habe ich

$\begin{eqnarray*} ln(3)=2 \end{eqnarray*}$

14.07.2022, 03:16

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen
2*e^(8x) = 6*e^(4x)
e^(8x) = 3*e^(4x)
e^(8x)/e^(4x)= 3
e^(2x) =3
4x = ln3
x = ln3/4

14.07.2022, 10:25

patzy34

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen
Vielen Dank. Das hat erstmal die Lösung gerettet. Alles logisch.

Aber wäre mein Rechenweg bis $\begin{eqnarray*} ln(6) * 4x = ln(2) * 8x \end{eqnarray*}$ richtig??

Anzeige

14.07.2022, 11:08

expolog

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das hat erstmal die Lösung gerettet. Alles logisch.

Die vorletzte Zeile der geposteten Komplettlösung finde ich nicht logisch.

Zitat:

Aber wäre mein Rechenweg bis ln(6)*4x=ln(2)*8x richtig??

Das ist falsch, weil ein Produkt im Logarithmus zur Summe der einzelen Logarithmen wird.
Das Gesetz dazu lautet $\begin{eqnarray*} ln(a \cdot b)=ln(a)+ln(b) \end{eqnarray*}$

14.07.2022, 11:14

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen
2*e^(8x)-6*e^(4x) =0

2*e^(4x)*(e^(4x) -3)= 0

Satz vom Nullprodukt: (nur der 2. Faktor kann 0 werden):

e^(4x) -3 = 0

e^(4x) = 3

4x = ln3

x= ln3/4

Ich weiß nicht, wie du auf dein Zwischenergebnis kommst.

14.07.2022, 11:44

patzy34

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Also wäre richtig gewesen:

$\begin{eqnarray*} ln(6)+4x = ln(2)+8x \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auch auf das Ergebnis. Vielen Dank nochmal.

14.07.2022, 11:58

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch über Berlin von München nach Köln fahren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.07.2022, 12:07

expolog

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Weg von patzy34 :

$\begin{eqnarray*} 6e^{4x}=2e^{8x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(6)+ 4x = ln(2) + 8x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(6)-ln(2)=4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(6)-ln(2)}{4}=x \end{eqnarray*}$

Das scheint mir mit 4 Zeilen Aufwand sogar der mit am schnellsten zum Ziel führende Weg hier zu sein.

14.07.2022, 12:20

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Logarithmieren hebt man sich meist bist zum Schluss auf.
Hier mag das indes durchaus Sinn machen. Ich mache es halt nie
und bin immer gut damit gefahren.
Sua cuique ratio. smile

smile

14.07.2022, 18:55

expolog

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du stolz deine Lateinkenntnisse präsentierst, dann nimm dir das, was da steht, doch auch zu Herzen.
Pauschalaussagen a la "Man macht das so und so" nur weil man selbst gewisse Präferenzen hat, können leicht für Missverständnisse sorgen.
Besonders für Fragesteller, die das nicht einschätzen können und dann denken, ihr Lösungeweg sei unangebracht.
Solange es keine siginifikanten Unterschiede im Aufwand gibt, hat jeder korrekte Lösungsweg auch seine Berechtigung.

Zitat:

Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g genau einmal schneiden.

Im Übrigen ist es hier gar nicht zwingend notwendig die konkrete Schnittstelle zu berechnen.
Es würde schon genügen die Existenz und Eindeutigkeit nachzuweisen.

Ein Ansatz könnte es daher z.B. auch sein, dass man wegen f '(x)>0 und f ''(x)>0 zwei streng monoton steigende, linksgekrümmte (also immer schneller ansteigende) Graphen vorliegen hat.
Wenn überhaupt, dann kann es demnach höchstens einen gemeinsamen Punkt geben.

Mit f(0)=2<6=g(0) und f(1)>g(1) hat man die Existenz einer Schnittstelle für die in ganz IR stetigen Funktionen sicher gestellt.

Falls die Aufgabe in der Mittelstufe gestellt wurde, dann wird man mit hoher Wahrscheinlichkeit den Weg über das algebraische Lösen einer Gleichung gehen.
Für die Oberstufe oder Hochschule, kann man sich aber auch analytisch heranwagen.

14.07.2022, 19:43

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Lehrer sagte immer: Das Logarithmieren heben wir uns bis zum Schluss auf.
Und meistens ist das auch gut/besser so.
Zu frühest Loggen ist oft eine Fehlerquelle oder führt ins Chaos.
Dafür gibt es genug Beispiele in den Foren.
Expertus dico. smile

smile

14.07.2022, 19:49

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Schnittpunkt von Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von patzy34
Gegeben sind die Funktionen: $\begin{eqnarray*} f(x)=2e^{8x} und g(x)=6e^{4x} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g genau einmal schneiden.

Die beiden Funktionen f(x) und g(x) sind über den ganzen Definitionsbereich positiv und schneiden sich dort, wo sich deren Logarithmen schneiden (siehe Grafik).

Man könnte nun $\begin{eqnarray*} \ln f(x) = \ln g(x) \end{eqnarray*}$ ansetzen was bedeuten würde $\begin{eqnarray*} \ln 2+8x=\ln 6+4x \end{eqnarray*}$ aber wegen

Zitat:

Logarithmieren hebt man sich meist bis zum Schluss auf.

mache ich es anders.

$\begin{eqnarray*} \left.2e^{8x}=6e^{4x}\quad\right|:2e^{4x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.e^{4x}=3\quad\right|\ln \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.4x=\ln 3\quad\right|:4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\ln 3}4 \end{eqnarray*}$

14.07.2022, 20:01

Ulrich Ruhnau

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von expolog
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(6)-ln(2)}{4}=x \end{eqnarray*}$

Das scheint mir mit 4 Zeilen Aufwand sogar der mit am schnellsten zum Ziel führende Weg hier zu sein.

Eine Vereinfachung sollte man hier nicht unterschlagen:

$\begin{eqnarray*} \ln 6-\ln 2=\ln\frac 62=\ln 3 \end{eqnarray*}$

Damit kommt das Gleiche heraus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »