Matrix konstruieren aus sym / schiefsym

13.07.2022, 23:24	nilpotent	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix konstruieren aus sym / schiefsym Meine Frage: Hallo, ich soll zeigen, dass jede quadratische Matrix als Summe einer symmetrischen und einer schiefsymmetrischen Matrix geschrieben werden kann. Mir ist kein Beweis eingefallen, nur wie man so eine Summe konstruieren kann, aber vielleicht reicht das als Beweis, da ich es allgemein (oBdA) gehalten habe: Meine Ideen: Sei A eine nxn- Matrix, B die zu konstruierende symmetrische Matrix und C die schiefsymmetrische Matrix. Betrachte zuerst die Diagonalelemente. Da diese für c_ij = 0 sind, muss gelten, dass b_ij = a_ij für alle i=j. Für i > j (d.h. für die Elemente unterhalb der Diagonale) gilt: $\begin{eqnarray} a_{ij} = b_{ij} + c_{ij} \quad \left(I\right) \end{eqnarray}$ Für j > i schreibt man: $\begin{eqnarray} (a_{ij})^T = (b_{ij})^T + (c_{ij})^T \end{eqnarray}$ b_ij^T = b_ij, weil B symmetrisch ist und c_ij^T = -c_ij, da C schiefsymmetrisch ist woraus mit obiger Gleichung folgt: $\begin{eqnarray} a_{ji} = b_{ij} - c_{ij} \quad \left(II\right) \end{eqnarray}$ Wir haben also 2 Gleichungen (I + II) mit 2 Unbekannten, d.h. das Gleichungssystem ist lösbar. Auflösen / Umstellen nach b_ij ergibt: $\begin{eqnarray} b_{ij} = \frac{a_{ij} + a_{ji}}{2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt für c_ij: $\begin{eqnarray} c_{ij} = \frac{a_{ij} - a_{ji}}{2} \end{eqnarray}$ sowie für c_ji: $\begin{eqnarray} c_{ji} = -c_{ij} = \frac{-a_{ij} + a_{ji}}{2} <br /> \end{eqnarray}$ Korrekturen aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
14.07.2022, 09:57	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Offensichtlich kann man jede quadratische Matrix M in 4 Summanden aufspalten: $\begin{eqnarray} M=\underbrace{\tfrac{1}{2}\cdot (M+M^T)}_{\text{Matrix }S}+\underbrace{\tfrac{1}{2}\cdot (M-M^T)}_{\text{Matrix }A} \end{eqnarray}$ Jetzt musst du "beweisen", dass die Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ symmetrisch ist und die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ antisymmetrisch ist. Die zugehörigen Matrixelemente lauten $\begin{eqnarray} S_{ij}=\tfrac{1}{2}\cdot (M_{ij}+M_{ji}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A_{ij}=\tfrac{1}{2}\cdot (M_{ij}-M_{ji}) \end{eqnarray}$ Offenbar bleiben die Matrixelemente $\begin{eqnarray} S_{ij} \end{eqnarray}$ beim Indexvertauschen unverändert. Dagegen ändern die Matrixelemente $\begin{eqnarray} A_{ij} \end{eqnarray}$ bei Indexwechsel das Vorzeichen. w.z.b.w.
14.07.2022, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da würde ich nicht mehr zu den Matrixelementen hinabsteigen, sondern global für die gesamte Matrix rechnen. Das Transponieren ist eine involutorische lineare Abbildung. Daher gilt zum Beispiel $\begin{align} S^{\top} = \left( \frac{1}{2} \left( M + M^{\top} \right) \right)^{\top} = \frac{1}{2} \left( M + M^{\top} \right)^{\top} = \frac{1}{2} \left( M^{\top} + \left( M^{\top} \right)^{\top} \right) = \frac{1}{2} \left( M^{\top} + M \right) = S \end{align}$
14.07.2022, 20:09	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
nilpotent hat m.E den richtigen Ansatz gewählt, um die offensichtliche Aufspaltung im Beitrag von Ehos zu bekommen. Allerdings hätte sich auch da schon die Matrixebene statt der Elementebene angeboten: Ansatz: $\begin{eqnarray} A=B+C \end{eqnarray}$ , B die symmetrische Matrix und C die schiefsymmetrische Matrix. Dann ist $\begin{eqnarray} A^T=B-C \end{eqnarray}$ . Beide Gleichungen einmal addieren bzw. subtrahieren ergibt $\begin{eqnarray} A+A^T=2B \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A-A^T=2C \end{eqnarray}$ Damit ist schon klar, dass es höchstens eine solche Darstellung geben kann. Den Rest hat Leopold schön geschrieben.

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