ONS in L2

14.07.2022, 09:08	Justlikemanuel 2022	Auf diesen Beitrag antworten »
ONS in L2 Meine Frage: Hallo zusammen, wir behandeln gerade Hilbert-Räume in der Analysis und ich merke bei der aktuellen Übungsaufgabe, dass ich mit den Begrifflichkeit noch nicht gut umgehen kann und meine Intuition total versagt. Ich möchte gar nicht nach der Lösung an sich fragen, aber über ein paar Stichworte, wie man ans Ziel kommen kann, würde ich mich wirklich sehr freuen! Meine Ideen: Aufgabe und Ansätze finden sich im beigefügten Bild
14.07.2022, 14:31	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ONS in L2 Dein handschriftlichen Teil ist mir nicht ganz klar. Ich interpretiere ihn so, dass bei euch die Vollständigkeit eines ONS aus einem Hilbertraum bedeuten soll, dass man jeden Vektor des Hilbertraums durch endliche Linearkombinationen der Vektoren des ONS beliebig genau annähern kann. Das ist aber hier ziemlich trivial. Sei $\begin{eqnarray} a=(a_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n=\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha_k = \langle a, e_k \rangle =a_k \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} b_n=(a_1, a_2, \ldots, a_n, 0, 0, \dots) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a-b_n=(0, \dots, 0,a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|a-b_n\|\|=\sum_{k=n+1}^\infty a_n^2 \end{eqnarray}$ Und da kann man zu jedem $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N_\epsilon \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} \|\|a-b_n\|\|=\sum_{k=n+1}^\infty a_n^2 < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n>N_\epsilon \end{eqnarray}$ . So ist ja ja gerade der Hilbertraum $\begin{eqnarray} l_2 \end{eqnarray}$ definiert.

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