Grenzwert einer Folge

14.07.2022, 21:18	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer Folge komme mit der folge im anhang nicht klar was die herleitung des grenzwerts angeht .. laut kontex muss die folge auf eine weise so umgeformt werden dass diese form genutzt werden kann: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+\frac{x}{n} )^{n} = e^{x} \end{eqnarray}$ damit habe ich bisher ein problem andyrue
14.07.2022, 21:45	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Folge Mein schrittweises Vorgehen beginnt damit, die 1 zu ermöglichen: $\begin{eqnarray} a_{n} =\left(\frac{n+1-3}{n+1} \right)^{2n} \end{eqnarray}$ Hast Du Ideen, wie es weitergehen könnte? Kommt natürlich auch drauf an, welche Voraussetzungen Du benutzen darfst.
14.07.2022, 22:27	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Folge ok, ich habe das jetzt weiter umgeformt und komme auf $\begin{eqnarray} ((1+\frac{-3}{n+1} )^{n}) ^{2} \end{eqnarray}$ der innere term $\begin{eqnarray} (1+\frac{-3}{n+1} )^{n} \end{eqnarray}$ dürfte den gleichen grenzwert haben wie $\begin{eqnarray} (1+\frac{-3}{n} )^{n} \end{eqnarray}$ weil für große n das 'plus 1' da unten an bedeutung verliert .. also: $\begin{eqnarray} (e^{-3} )^{2} = e^{-6} \end{eqnarray}$ andyrue
14.07.2022, 22:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Folge Da hast Du jetzt gleich ein Stück vorgegriffen. Gut: Das Endergebnis ist bereits richtig. Dennoch können Annahmen mit "dürfte" trügerisch sein, deshalb soll man das auf jeden Fall formal etwas strenger zu Ende bringen. Bei dem Standardgrenzwert für $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ kommt es schon darauf an, dass der Nenner des Bruchs und der Exponent gleich schnell gegen Unendlich gehen. Daher würde ich noch umschreiben zu $\begin{eqnarray} \left[\left(1+\frac{-3}{n+1} \right)^{n+1-1} \right]^{2} \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ könnte man jetzt substituieren, aber Du siehst, dass aufgrund der Struktur noch ein Zusatzfaktor ins Spiel kommt, über dessen Verhalten man sich vergewissern muß.
15.07.2022, 03:02	folger	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach dem Umformen in $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{-3}{n+1} \right)^{2n} \end{eqnarray}$ kann man stets den linearen Nennerterm substituieren, hier demnach mit $\begin{eqnarray} n+1=z \iff n=z-1 \end{eqnarray}$ Eingesetzt folgt damit $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{-3}{z} \right)^{2(z-1)}=\left(1+\frac{-3}{z} \right)^{2z} \cdot \left(1+\frac{-3}{z} \right)^{-2}= \left(\left(1+\frac{-3}{z} \right)^{z}\right)^{2} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{-3}{z} \right)^{2}} \end{eqnarray}$
15.07.2022, 15:45	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
danke, hab's verstanden ... und schon tut sich neuer frust auf, ich verstehe das untenstehende beispiel nicht nach diesem modell wird der jährliche zinsertrag immer kleiner ... gleichzeitig ist die aufgabe von einem skript der uni duisburg meine zinsertragsfolge sieht aber anders aus (siehe anhang) andyrue
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15.07.2022, 16:39	folger	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Meinung nach ist dein Ansatz korrekt. Ich würde in der vorletzten Zeile nur eher die Potenz mit dem kleinsten Exponenten ausklammern, das führt zu angenehmeren Zahlen. Im Skript wird nur einmal vom Anfangsguthaben verzinst und danach nur noch die Zinsen selbst, warum auch immer man auf so eine Idee kommen sollte
17.07.2022, 13:36	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert einer Folge @ andyrue: Deine Rechnung entspricht natürlich einer realistischen seriösen Anlage mit Zinseszinseffekt. Anzumerken aber, dass Du hier nicht die Zinserträge verglichen hast, sondern Deine Endformel liefert den Bestandszuwachs gegenüber dem Vorjahr nach Zinsgutschrift im $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Jahr. Der Zinsertragszuwachs im $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Jahr gegenüber dem Vorjahr wäre z. B. durch die Formel $\begin{eqnarray} \Delta \text{Z}(n)=980 \cdot 0,02^{2}\cdot 1,02^{n-2}~;~n\geq 2 \end{eqnarray}$ beschrieben.

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