Beweis Skalarprodukt

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Samsara Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Skalarprodukt
Sei V = und sei s : V x V gegeben durch s(A,B):= tr() Z.Z. s ist ein Skalarprodukt auf V.
Beweis: 1) Die Bilinearaität 2) Symmetrie 3) Positive Definitheit
1) Bilinearität folgt direkt aus der Bilinearität der Matrizenmultiplikation und der Linearität der Spur.

Hier direkt meine erste Frage: da es sich um eine nicht quadratische Matrix handelt ist mir die Spur, die die Diagonale ist, nicht klar.
2) Wir haben ()=() und tr()=(), also s()=tr()=tr(())=tr()=s()s ist symmetrisch.
Den Rest des Beweises kann ich nicht mehr aufschreiben, da mein Internet aktuell zu langsam ist. Mir ist die Symmetrie, so wie sie hier dargestellt wird, auch nicht klar.
skalari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da es sich um eine nicht quadratische Matrix handelt


Es geht um die Matrix, die durch entsteht und diese ist in der Tat quadratisch.

Zitat:
Mir ist die Symmetrie, so wie sie hier dargestellt wird, auch nicht klar.


stimmt nicht, wenn dann

Ich hätte für den Zusammenhang s(A,B)=s(B,A) lediglich benutzt, dass zueinander transponierte Matrizen dieselbe Spur besitzen:

Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Aufgabenstellung wurde mir jetzt von Betreuerseite der Fernuni wie folgt geantwortet. Ein Skalarprodukt ist eine Abbildung V x V, die eine positive, symmetrische Bilinearform ist. Der Vektorraum ist hier ). Die Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren. Die (mxn)-Matrizen sind also die "Vektoren" in diesem Vektorraum. Das V x V , eine positive, symmetrische Bilinearform ist, ist in diesem Fall wohl so. Ich hätte es für ein Vektorkreuzprodukt gehalten, was in diesem Zusammenhang offenbar falsch ist. Aber das () hier die Elemente eines Vektorraums sind kann ich nicht nachvollziehen, zumindest noch nicht.

Was den Fehler von = betrifft , so habe ich, wenn ich es richtig sehe, alles in Klammern geschrieben. Aber ich muss es sowieso erst nachvollziehen können, um es zu verstehen.
skalari Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das V x V ---> IR eine positive, symmetrische Bilinearform ist, ist in diesem Fall wohl so


Das ist eben die Definition eines Skalarproduktes.

Zitat:
Ich hätte es für ein Vektorkreuzprodukt gehalten


AxB verknüpft zwei Mengen geordnet miteinander, d.h. jedes Element von A mit einem Element aus B.
Das nennt man auch "Kartesisches Produkt", siehe z.B. hier :

de.wikipedia.org/wiki/Kartesisches_Produkt

Vielleicht hilft es dir auch in Mengen zu denken, statt dich am Begriff "Vektor" in dem Zusammenhang zu stören.
Mengen ist es egal aus welchen Elementen sie bestehen.
Das können Zahlen, Buchstaben, Vektoren, Matrizen.....usw sein.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skalarprodukt habe ich bisher so <,> gesehen.
skalari Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch eine übliche Notation.

Dieses s : VxV ----> IR ist eine Zuordnungsvorschrift.
Diese drückt aus, dass das Skalarprodukt als eine Zuordnung/Funktion s angesehen werden kann, bei der zwei beliebige Elemente (hier sind die Elemente Matrizen) aus V einer bestimmten reellen Zahlen zugeordnet werden.

Und genau das passiert in diesem Beispiel ja, wenn man zwei Matrizen A und B nimmt und davon die Spur des Produktes bestimmt.
Die Funktion s(A,B) liefert auf diese Weise eine reelle Zahl.

Und wenn diese Funktion s(A,B) nun auch noch die goldenen drei Eigenschaften Bilinearität, Symmetrie und positive Definitheit erfüllt, ja dann darf man sie auch wirklich Skalarprodukt nennen.
 
 
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir sicher, dass das alles so stimmt. Das Problem ist nur, ich kann es aktuell nicht nachvollziehen. Zu Beginn der Aufgabe wir der Vektor V = der Matrix gesetzt. Dass man das so machen darf, möglicherweise habe ich irgendwas vergessen. Und V x V ist ja
normalerweise ein Vektorkreuzprodukt. Hier ist V x V ---> die Abbildung eines Skalarproduktes.

Dass das alles so richtig ist, das ist mir schon klar. Auch das dadurch aus jetzt ein Vektorraum mit den Vektoren (n x n) geworden ist. Ich kann es aktuell nur nicht begreifen. Und das möchte ich gern ändern.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Samsara
Vektor V = der Matrix gesetzt.

Das ist schon falsch. V ist nicht ein Vektor, sondern ein Vektorraum, hier die Menge aller mxn-Matrizen.
Jede einzelne Matrix ist ein Element dieses Vektorraums und darf somit auch als Vektor bezeichnet werden. Das mag für Dich verwirrend sein, denn Du kennst vermutlich nur die Vektoren aus der Schule mit n-Koordinaten. Aber im Allgemeinen wird unter einem Vektor ein Element eines Vektorraums, also einer Menge mit bestimmten Eigenschaften, verstanden. Das können neben den bereits erwähnten n-Tupeln zum Beispiel auch Funktionen, Matrizen oder Zahlenfolgen sein.

Zitat:
Und V x V ist ja normalerweise ein Vektorkreuzprodukt. Hier ist V x V ---> die Abbildung eines Skalarproduktes.

Nächster Fehler: V x V kann nicht das Vektorprodukt sein, weil V kein Vektor ist (siehe oben). V x V ist das sogenannte kartesische Produkt, d.h. alle Paare von Vektoren aus dem Vektorraum V oder bezogen auf deine Aufgabe alle Paare von Matrizen der Größe mxn. Jedem Paar wird durch die Abbildung s eine reelle Zahl zugeordnet, nämlich die Spur von . Dadurch wird s zu einem Skalarprodukt.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das mit V= Vektor habe ich mit Vektorraum verwechselt und x ist natürlich ein kartesisches Produkt. Was mir aber trotzdem nicht klar ist, wenn man schreibt V =, dann wird als Vektorraum bezeichnet, was ja eigentlich eine Matrix ist und kein Vektorraum. Aber eines ist klar, ein kartesisches Produkt ist kein Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt wird
normalerweise < , > so beschrieben.

Nachdem, was ich "jetztnachvollziehen" kann, ist V x V ist ein kartesisches Produkt, was ja eigentlich
auch stimmt. Hier hier wird es so, s : V x V ---> zu einer Abbildung eines Skalarproduktes. Das damit s zur Spur wird kann ich leider noch nicht nachvollziehen. Diese Aufgabe bringt mich im Moment richtig durcheinander.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht mal konkret, was die Spur hier bedeutet. Am besten denken wir uns die Matrizen als aus ihren Spalten aufgebaut:



Jedes und jedes ist eine Spalte mit Koordinaten.

Beispiel für :



Hier wäre



Was ist nun ? Zunächst allgemein für beliebiges und :



Und da man bei der Matrizenmultiplikation stets Zeile mal Spalte rechnet, ergibt sich Folgendes:



Ein Produkt aus einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor stimmt aber mit dem Standardskalarprodukt überein. Schreiben wir für dieses Standardskalarprodukt im spitze Klammern, könnte man daher das obige Matrizenprodukt auch so schreiben:



Und hiervon jetzt die Spur:



Jetzt das Ganze für das Zahlenbeispiel von oben:



Oder mit der Schreibweise als Skalarprodukt:





Und wenn man das noch weiter aufdröselt, erkennt man, daß für und gilt:



Zulässig sind alle Indexpaare mit und .

Würde man daher die Matrixelemente nicht in einem rechteckigen Schema, sondern etwa in Spalten und anordnen, so erhielte man das klassische Standardskalarprodukt von Vektoren. Im Beispiel gehe ich die Matrizen zeilenweise durch und ordne die Matrixelemente in einer Spalte mit sechs Koordinaten an. Die spitzen Klammern stehen jetzt für das Standardskalarprodukt des :



Zusammengefaßt kann man sagen: Das in dieser Aufgabe definierte Skalarprodukt entspricht dem üblichen Standardskalarprodukt, wenn man das rechteckige - Schema in ein -Spaltenschema überführt.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Durch diverse Hinweise bin ich nun darauf gekommen, dass es sich bei dieser Aufgabe um den Vektorraum der Matrizen handelt. Es ging einfach darum, zu zeigen, dass die Rechenregeln für Vektoren auch bei Matrizen gelten. In den meisten Fällen dürfte es egal sein, ob m = n oder m n ist.
Samsara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mich noch etwas korrigieren, es muss lediglich gleiche Spalten und gleichen Zeilenzahlen geben.
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